목차

연속형 분포 (Continuous Distributions)

정의

연속형 확률변수 (Continuous Random Variable)

정의

확률변수 $X$가 가질 수 있는 값의 수가 무한하고, 셀 수 없을 때, $X$를 연속형 확률변수라 한다.


확률밀도함수 (Probability Density Function : PDF)

정의

확률변수 $X$의 분포함수 $F$가 연속함수이고, 임의의 실수 $x$에 대해

  • $$F(x) = \int_{- \infty}^{x} f(t) \ dt$$

를 만족하는 비음의 함수 $f$가 존재할 때, $X$를 연속형 확률변수라 하고 $f$를 확률밀도함수라 함다.

함수 $f(x)$가 연속형 확률변수확률밀도함수가 되기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.

  1. $$f(x) \geq 0 \ , \ x \in R$$
  2. $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ dx = 1$$

누적분포함수 (Cumulative Distribution Function : CDF)

정의

$X$가 표본공간 $S$상에 정의된 확률변수일 때,

  • $$ F(x) = P(X \leq x) = P( \{ w : X(w) \leq x \} ) \ , \ x \in R $$

로 정의되는 함수 $F$를 $X$의 누적분포함수라 하고, 분포함수라고도 한다.

함수 $F$가 누적분포함수이기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다. ( $a , b$ 는 임의의 실수)

  1. $a < b$ 이면 $F(a) \leq F(b)$ (비감소)
  2. $\lim_{h \rightarrow +0} F(a+h) = F(a)$ (우측으로부터 연속)
  3. $ F(-\infty) = 0 \ , \ F(+\infty) = 1 $

확률변수 $X$의 누적분포함수를 $F$라 할 때, $a < b$인 임의의 두 실수 $a , b$에 대해 다음이 성립한다. ($F(a-) = \lim_{h \rightarrow +0} F(a-h) $)

  1. $ P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) $
  2. $ P(X = a) = F(a) - F(a-) $

연속형 분포의 종류