t분포 (t Distribution)

정의

확률변수 $Z$와 $W$가 서로 독립이고 $Z$는 표준정규분포를 $W$는 자유도가 $\nu$인 카이스퀘어분포를 따를 경우, 확률변수

  • $$X = \frac{Z}{\sqrt{W / \nu}}$$

자유도가 $\nu$인 t분포를 따른다.

표기

$$ X \sim t(\nu) $$


받침

$$ x \in ( \ - \infty \ , \ \infty \ ) $$

확률밀도함수

$$ f(x) = \frac{\left( \frac{\nu}{\nu + x^{2}} \right)^{(1 + \nu)/2}}{\sqrt{\nu} \cdot B \left( \frac{1}{2} \nu , \frac{1}{2} \right) } $$

누적분포함수

$$ F(x) = \frac{1}{2} + \frac{x \Gamma \left( \frac{1}{2} (\nu + 1) \right) \ _{2}F_{1} \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} (\nu + 1) ; \frac{3}{2} ; -\frac{x^{2}}{\nu} \right)}{\sqrt{\pi \nu} \cdot \Gamma \left( \frac{1}{2} \nu \right) } $$

기대값

$$ E(X) = 0 $$

분산

$$ Var(X) = \frac{\nu}{\nu - 2} $$

왜도

$$ \gamma_{1} = 0 $$

첨도

$$ \gamma_{2} = \frac{6}{\nu - 4} $$

특징

타 분포와의 관계