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이산형 분포 (Discrete Distribution)
정의
확률질량함수 (Probability Mass Function : PMF)
정의
X가 이산형 확률변수일 때,
p(x) = \left\{ \begin{array}{ll} p(X = x) & \ x \in R_{x} \\ 0 & \ x \notin R_{x} \end{array} p(x) = \left \{ \begin{array}{ll} p(X = x) & \ x \in R_{x} \\ 0 & \ x \notin R_{x} \end{array}
로 정의되는 함수 p(x) 를 X의 확률질량함수라 하고, 확률함수라고도 한다.
함수 p(x)가 이산형 확률변수의 확률함수가 되기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.
- p(x)≥0 , x 는 임의의 실수
- ∑x∈Rxp(x)=1
누적분포함수 (Cumulative Distribution Function : CDF)
정의
- F(x)=P(X≤x)=P({w:X(w)≤x}) , x∈R
로 정의되는 함수 F를 X의 누적분포함수라 하고, 분포함수라고도 한다.
함수 F가 누적분포함수이기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다. ( a,b 는 임의의 실수)
- a<b 이면 F(a)≤F(b) (비감소)
- lim (우측으로부터 연속)
- F(-\infty) = 0 \ , \ F(+\infty) = 1
확률변수 X의 누적분포함수를 F라 할 때, a < b인 임의의 두 실수 a , b에 대해 다음이 성립한다. (F(a-) = \lim_{h \rightarrow +0} F(a-h) )
- P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)
- P(X = a) = F(a) - F(a-)