이원배치법 (모수모형) (반복없음)

데이터 구조

인자 $A$는 모수인자

인자 $B$는 모수인자

$$ y_{ij} = \mu + a_{i} + b_{j} + e_{ij} $$

  • $y_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$에서 얻은 측정값
  • $\mu$ : 실험전체의 모평균
  • $a_{i}$ : $A_{i}$가 주는 효과
  • $b_{j}$ : $B_{j}$가 주는 효과
  • $e_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$에서 얻은 측정값오차 ($e_{ij} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$이고 서로 독립)

자료의 구조

인자
$B$
인자 $A$ 합계 평균
$$A_{1}$$ $$A_{2}$$ $$\cdots$$ $$A_{l}$$
$$B_{1}$$ $$y_{11}$$ $$y_{21}$$ $$\cdots$$ $$y_{l1}$$ $$T_{.1}$$ $$\overline{y}_{.1}$$
$$B_{2}$$ $$y_{12}$$ $$y_{22}$$ $$\cdots$$ $$y_{l2}$$ $$T_{.2}$$ $$\overline{y}_{.2}$$
$$\vdots$$ $$\vdots$$ $$\vdots$$ $$\vdots$$ $$\vdots$$ $$\vdots$$
$$B_{m}$$ $$y_{1m}$$ $$y_{2m}$$ $$\cdots$$ $$y_{lm}$$ $$T_{.m}$$ $$\overline{y}_{.m}$$
합계 $$T_{1.}$$ $$T_{2.}$$ $$\cdots$$ $$T_{l.}$$ $$T$$
평균 $$\overline{y}_{1.}$$ $$\overline{y}_{2.}$$ $$\cdots$$ $$\overline{y}_{l.}$$ $$\overline{\overline{y}}$$
$$T_{i.} = \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{m}$$
$$T_{.j} = \sum_{i=1}^{l} y_{ij}$$ $$\overline{y}_{.j} = \frac{T_{.j}}{l}$$
$$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lm} = \frac{T}{N}$$
$$N = lm$$ $$CT = \frac{T^{2}}{lm} = \frac{T^{2}}{N}$$

제곱합

개개의 데이터 $y_{ij}$와 총 평균 $\overline{\overline{y}}$의 차이는 다음과 같이 세 부분으로 나뉘어진다.

$$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})$$

양변을 제곱한 후에 모든 $i$와 $j$에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.

$$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})^{2}$$

위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $S_{T}$이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$의 변동, $B$의 변동, 오차변동인 $S_{A}$, $S_{B}$, $S_{E}$가 된다.

$$\begin{displaymath}\begin{split} S_{T} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}^{ \ 2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (\overline{y}_{i.}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \frac{T_{i.}^{ \ 2}}{m} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{B} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (\overline{y}_{.j}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{j=1}^{m} \frac{T_{.j}^{ \ 2}}{l} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{E} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{T} - S_{A} - S_{B} \end{split}\end{displaymath}$$ ===== 자유도 ===== $$\nu_{_{A}} = l-1$$ $$\nu_{_{B}} = m-1$$ $$\nu_{_{E}} = (l-1)(m-1)$$ $$\nu_{_{T}} = lm-1=N-1$$ ===== 평균제곱 ===== $$V_{A} = \frac{S_{A}}{\nu_{_{A}}}$$ $$V_{B} = \frac{S_{B}}{\nu_{_{B}}}$$ $$V_{E} = \frac{S_{E}}{\nu_{_{E}}}$$ ===== 평균제곱의 기대값 ===== $$E(V_{A}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ $$E(V_{B}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$ $$E(V_{E}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ ===== 분산분석표 ===== ^ [[요인]] ^ [[제곱합]]\\ $SS$ ^ [[자유도]]\\ $DF$ ^ [[평균제곱]]\\ $MS$ ^ $E(MS)$ ^ $F_{0}$ ^ [[기각치]] ^ [[순변동]]\\ $S\acute{}$ ^ [[기여율]]\\ $\rho$ |

$$A$$ $$S_{_{A}}$$ $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$
$$B$$ $$S_{_{B}}$$ $$\nu_{_{B}} = m - 1$$ $$V_{_{B}} = S_{_{B}} / \nu_{_{B}}$$ $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$ $$V_{_{B}}/V_{_{E}}$$ $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{B}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ $$S_{_{B}}\acute{} = S_{_{B}} - \nu_{_{B}} \ V_{_{E}}$$ $$S_{_{B}}\acute{} / S_{_{T}} $$
$$E$$ $$S_{_{E}}$$ $$\nu_{_{E}} = (l - 1)(m - 1)$$ $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{} - S_{_{B}}\acute{}$$ $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$
$$T$$ $$S_{_{T}}$$ $$\nu_{_{T}} = lm - 1$$ $$S_{_{T}}$$ $$1$$

분산분석

인자 $A$에 대한 분산분석

$$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{a-\alpha}(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}})$

인자 $B$에 대한 분산분석

$$F_{0}=\frac{V_{_{B}}}{V_{_{E}}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{a-\alpha}(\nu_{_{B}},\nu_{_{E}})$

각 수준의 모평균의 추정

인자 $A$의 모평균에 관한 추정

$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 점추정

$$\hat{\mu}(A_{i})=\widehat{\mu + a_{i}} = \overline{y}_{i.}$$

$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

$$\hat{\mu}(A_{i})= \left( \overline{y}_{i.} - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{m}} \ , \ \overline{y}_{i.} + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{m}} \right)$$


인자 $B$의 모평균에 관한 추정

$j$ 수준에서의 모평균 $\mu(B_{j})$의 점추정

$$\hat{\mu}(B_{j})=\widehat{\mu + b_{j}} = \overline{y}_{.j}$$

$j$ 수준에서의 모평균 $\mu(B_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

$$\hat{\mu}(B_{j})= \left( \overline{y}_{.j} - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{l}} \ , \ \overline{y}_{.j} + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{l}} \right)$$


인자 $A$와 $B$의 모평균에 관한 추정

$A$ 인자의 $i$ 수준과 $B$ 인자의 $j$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i}B_{j})$의 점추정

$$\hat{\mu}(A_{i}B_{j})=\widehat{\mu+a_{i}+b_{j}}=\overline{y}_{i.} + \overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}$$

$A$ 인자의 $i$ 수준과 $B$ 인자의 $j$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i}B_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

$$\hat{\mu}(A_{i}B_{j})= \left( (\overline{y}_{i.} + \overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) - t_{\alpha/2}(\nu_{E})\sqrt{\frac{V_{E}}{n_{e}}} \ , \ (\overline{y}_{i.} + \overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) + t_{\alpha/2}(\nu_{E})\sqrt{\frac{V_{E}}{n_{e}}} \right)$$

단, $n_{e}$는 유효반복수이고 $n_{e} = \frac{lm}{l+m-1}$이다.

각 수준의 모평균차의 추정

인자 $A$의 모평균차에 관한 추정

$i$ 수준과 $j$ 수준모평균차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 점추정

$$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})} = \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}$$

$i$ 수준과 $j$ 수준모평균차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

$$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})}= \left( (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{m}} \ , \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{m}} \right)$$


인자 $B$의 모평균차에 관한 추정

$i$ 수준과 $j$ 수준모평균차 $\mu(B_{i})-\mu(B_{j})$의 점추정

$$\widehat{\mu(B_{i})-\mu(B_{j})} = \overline{y}_{.i} - \overline{y}_{.j}$$

$i$ 수준과 $j$ 수준모평균차 $\mu(B_{i})-\mu(B_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

$$\widehat{\mu(B_{i})-\mu(B_{j})}= \left( (\overline{y}_{.i} - \overline{y}_{.j}) - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{l}} \ , \ (\overline{y}_{.i} - \overline{y}_{.j}) + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{l}} \right)$$