난괴법 (Randomized Block Design)

데이터 구조

$$ y_{ij} = \mu + a_{i} + b_{j} + e_{ij} $$

$y_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$에서 얻은 측정값
$\mu$ : 실험전체의 모평균
$a_{i}$ : $A_{i}$가 주는 효과
$b_{j}$ : $B_{j}$가 주는 효과 ($b_{j} \sim N(0, \sigma_{B}^{ \ 2})$이고 서로 독립)
$e_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$에서 얻은 측정값의 오차 ($e_{ij} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$이고 서로 독립)

$i$ : 인자 $A$의 수준 수 $( i = 1,2, \cdots ,l )$
$j$ : 인자 $B$의 수준 수 $( j = 1,2, \cdots ,m )$

자료의 구조

인자 $B$	인자 $A$				합계	평균
인자 $B$	$A_{1}$	$A_{2}$	$\cdots$	$A_{l}$	합계	평균
$B_{1}$	$y_{11}$	$y_{21}$	$\cdots$	$y_{l1}$	$T_{.1}$	$\overline{y}_{.1}$
$B_{2}$	$y_{12}$	$y_{22}$	$\cdots$	$y_{l2}$	$T_{.2}$	$\overline{y}_{.2}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$		$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$B_{m}$	$y_{1m}$	$y_{2m}$	$\cdots$	$y_{lm}$	$T_{.m}$	$\overline{y}_{.m}$
합계	$T_{1.}$	$T_{2.}$	$\cdots$	$T_{l.}$	$T$
평균	$\overline{y}_{1.}$	$\overline{y}_{2.}$	$\cdots$	$\overline{y}_{l.}$		$\overline{\overline{y}}$

$$T_{i.} = \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$	$$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{m}$$
$$T_{.j} = \sum_{i=1}^{l} y_{ij}$$	$$\overline{y}_{.j} = \frac{T_{.j}}{l}$$
$$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$	$$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lm} = \frac{T}{N}$$
$$N = lm$$	$$CT = \frac{T^{2}}{lm} = \frac{T^{2}}{N}$$

제곱합

개개의 데이터 $y_{ij}$와 총편균 $\overline{\overline{y}}$의 차이는 다음과 같이 세 부분으로 나뉘어진다.

$$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})$$

양변을 제곱한 후에 모든 $i$와 $j$에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.

$$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})^{2}$$

위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $S_{T}$이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$의 변동, $B$의 변동, 오차변동인 $S_{A}$, $S_{B}$, $S_{E}$가 된다.

$$\begin{displaymath}\begin{split} S_{T} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}^{ \ 2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ * $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (\overline{y}_{i.}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \frac{T_{i.}^{ \ 2}}{m} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ * $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{B} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (\overline{y}_{.j}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{j=1}^{m} \frac{T_{.j}^{ \ 2}}{l} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ * $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{E} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{T} - S_{A} - S_{B} \end{split}\end{displaymath}$$ ===== 자유도 ===== $$\nu_{_{A}} = l-1$$ $$\nu_{_{B}} = m-1$$ $$\nu_{_{E}} = (l-1)(m-1)$$ $$\nu_{_{T}} = lm-1=N-1$$ ===== 평균제곱 ===== $$V_{A} = \frac{S_{A}}{\nu_{_{A}}}$$ $$V_{B} = \frac{S_{B}}{\nu_{_{B}}}$$ $$V_{E} = \frac{S_{E}}{\nu_{_{E}}}$$ ===== 평균제곱의 기대값 ===== $$E(V_{A}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ $$E(V_{B}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$ $$E(V_{E}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ ===== 분산분석표 ===== ^ [[요인]] ^ [[제곱합]] $SS$ ^ [[자유도]] $DF$ ^ [[평균제곱]] $MS$ ^ $E(MS)$ ^ $F_{0}$ ^ [[기각치]] ^ [[순변동]] $S \acute{}$ ^ [[기여율]] $\rho$ |

^ $$A$$ | $$S_{_{A}}$$ | $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ | $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ | $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ | $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ | $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ | $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ |

$$B$$	$$S_{_{B}}$$	$$\nu_{_{B}} = m - 1$$	$$V_{_{B}} = S_{_{B}} / \nu_{_{B}}$$	$$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$	$$V_{_{B}}/V_{_{E}}$$	$$F_{1-\alpha}(\nu_{_{B}} \ , \ \nu_{_{E}})$$	$$S_{_{B}}\acute{} = S_{_{B}} - \nu_{_{B}} \ V_{_{E}}$$	$$S_{_{B}}\acute{} / S_{_{T}} $$
$$E$$	$$S_{_{E}}$$	$$\nu_{_{E}} = (l - 1)(m - 1)$$	$$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$	$$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$			$$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{} - S_{_{B}}\acute{}$$	$$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$
$$T$$	$$S_{_{T}}$$	$$\nu_{_{T}} = lm - 1$$					$$S_{_{T}}$$	$$1$$

분산분석

인자 $A$에 대한 분산분석

$$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$

기각역 : $F_{0} > F_{a-\alpha}(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}})$

각 수준의 모평균의 추정

인자 $A$의 모평균에 관한 추정

$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 점추정값

$$\hat{\mu}(A_{i})=\widehat{\mu + a_{i}} = \overline{y}_{i.}$$

$i$ 수준에서의 모평균 $\mu(A_{i})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

$$\hat{\mu}(A_{i})= \left( \overline{y}_{i.} - t_{\alpha/2}(\nu^{*}) \sqrt{\frac{V_{B}+(l-1)V_{E}}{lm}} \ , \ \overline{y}_{i.} + t_{\alpha/2}(\nu^{*}) \sqrt{\frac{V_{B}+(l-1)V_{E}}{lm}} \right)$$
- 단, $\nu^{*}$는 등가자유도로 $\nu_{*} = \frac{ [[ V_{B}+(l-1)V_{E} ]] ^{2} }{V_{B}^{ \ 2} / \nu_{B} + [[ (l-1)V_{E} ]] ^{2} / \nu_{E}}$ 이다.

각 수준의 모평균차의 추정

인자 $A$의 모평균차에 관한 추정

$i$ 수준과 $j$ 수준의 모평균차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 점추정값

$$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})} = \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}$$

$i$ 수준과 $j$ 수준의 모평균차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ 신뢰구간은 아래와 같다.

$$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})}= \left( (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{m}} \ , \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{m}} \right)$$

분산의 추정

$$\hat{\sigma}_{B}^{ \ 2} = \frac{V_{B}-V_{E}}{l}$$

목차