평균제곱의 기대값

아래에는 $A$ 모수인자, $B$ 변량인자인 반복이 있는 이원배치법에서 $E(V)$를 구하는 요령을 5단계로 나누어 설명되어 있고, 이 방법을 이용하면 쉽게 분산분석에서 평균제곱의 기대값을 구할 수 있다.

1. 아래의 표와 값이 행에 순서대로 $A_{i}, \ B_{j}, \ A \times B_{ij}, \ E_{k(ij)}$을 써넣는다. 이것들은 데이터의 구조식에서 $\mu$항을 제외한 나머지 항들에 해당되는 것을 차례대로 적은 것이다. 여기서 인자 $A, \ B, \ A \times B, \ E$의 밑에 첨자 $i, \ j, \ ij, \ k(ij)$를 각각 써넣었다. $k(ij)$의 의미는 $A_{i}$ 수준과 $B_{j}$ 수준이 정해진 후에 반복이 이루어지므로 이렇게 표시한 것이다. 다음으로 열에는, 첫째 열에 순서대로 $A$ 인자의 수준수 $(l)$, 인자의 종류 (모수인자이면 $F$, 변량인자이면 $R$)를 나타내고, 마지막으로 그 인자에 사용되는 첨자 $(i)$를 쓴다. 두번째 열에는 $B$ 인자의 수준수 $(m)$, 인자의 종류, 첨자 $(j)$를 쓴다. 세번째 열에는 반복에 대한 것으로 변량인자 $(R)$로 간주하여 기록한다.

2. 각 행에 대하여 같은 첨자가 있는 곳을 제외하고 나머지 장소에 수준수(또는 반복수)를 기입한다.

3. 행에 있는 첨자 중에서 괄호속에 들어 있는 것이 있으면 그 첨자와 같은 열의 첨자를 찾아 만나는 곳에 1이라고 적는다.

4. 빈 곳을 찾아서 열별로 $F$이면 $0$을, $R$이면 $1$을 기입한다.

5. 마지막으로 $E(V)$를 구하게 된다. 먼저 $A_{i}$ 행의 $E(V_{A})$를 구하려면 열에서 첨자 $i$가 있는 열을 가리고, 각 행별로 적혀진 숫자를 곱한다. 그러면 $mr, \ r, \ r, \ 1$을 얻게 된다. 여기서 첨자 $i$가 있는 행만을 골라내면 $A_{i}, \ A \times B_{ij}, \ E_{k(ij)}$로서 행별로 곱한 숫자는 각각 $mr, \ r, \ 1$이다. $E(V_{A})$는 $i$가 있는 행의 분산 $\sigma_{A}^{ \ 2}, \ \sigma_{A \times B}^{ \ 2}, \ \sigma_{E}^{ \ 2}$을 차례로 $mr, \ r, \ 1$과 곱하여 합한 것이 된다. 즉 $E(V_{A})=\sigma_{E}^{ \ 2} + r \sigma_{A \times B}^{ \ 2} + mr \sigma_{A}^{ \ 2}$이다. 같은 요령으로 $B_{j}$ 행의 $E(V_{B})$를 구하려면 $j$가 있는 두번째 열을 가리고 행별로 숫자를 곱하면 $o, \ lr, \ 0, \ 1$이 된다. $j$가 없는 첫번째 행을 생각하지 말고, 2, 3, 4행의 분산 $\sigma_{B}^{ \ 2}, \ \sigma_{A \times B}^{ \ 2}, \ \sigma_{E}^{ \ 2}$을 차례로 $lr, \ 0, \ 1$과 곱하여 합치면 $E(V_{B})=\sigma_{E}^{ \ 2} + lr \sigma_{B}^{ \ 2}$이 된다. 다음으로 $A \times B_{ij}$ 행의 $E(V_{A \times B})$를 구하려면 $i$, 또는 $j$가 있는 1,2 열을 가리고 보면 $r, \ r, \ r, \ 1$이 남는다. $i$와 $j$가 동시에 들어 있는 행은 3, 4번째의 행뿐이므로 $E(V_{A \times B}) = \sigam_{E}^{ \ 2} + r \sigma_{A \times B}^{ \ 2}$을 얻을 수 있다. 같은 방법으로 $E(V_{E})$도 구할 수 있는데 이행의 기대값은 언제나 $E(V_{E})= \sigam_{E}^{ \ 2}$가 된다. 이상의 결과를 정리하면 아래와 같다.

• 평균제곱
• 기대값