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자연수 [2012/03/08 06:38]
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   - 다음 수가 0인 자연수는 존재하지 않는다.   - 다음 수가 0인 자연수는 존재하지 않는다.
   - 서로 다른 자연수 ''​a''​와''​b''​에 대해서, 그 다음 수 ''​S''​(''​a''​)와 ''​S''​(''​b''​) 또한 서로 다르다.   - 서로 다른 자연수 ''​a''​와''​b''​에 대해서, 그 다음 수 ''​S''​(''​a''​)와 ''​S''​(''​b''​) 또한 서로 다르다.
-  - 0이 어떤 성질을 만족하고,​ 임의의 자연수 ''​k''​가 그 성질을 만족할 때 그 다음 수 ''​S''​(''​k''​) 또한 그 성질을 만족하면,​ 이 성질은 어떤 자연수에 대해서도 만족된다. (이는 ​[[[[수학적 귀납법]]]]이 올바르다는 것을 보장해 준다.)+  - 0이 어떤 성질을 만족하고,​ 임의의 자연수 ''​k''​가 그 성질을 만족할 때 그 다음 수 ''​S''​(''​k''​) 또한 그 성질을 만족하면,​ 이 성질은 어떤 자연수에 대해서도 만족된다. (이는 [[수학적 귀납법]]이 올바르다는 것을 보장해 준다.)
  
  ​여기서 정의에 사용된 "​0"​는 일반적으로 사용하는 숫자 0에 대응할 필요가 없으며, 공리를 만족하는 어떤 것이라도 될 수 있다. 이 공리를 만족하는 체계는 0 또는 1로 시작하는 자연수 이외에도 많이 존재한다.  ​여기서 정의에 사용된 "​0"​는 일반적으로 사용하는 숫자 0에 대응할 필요가 없으며, 공리를 만족하는 어떤 것이라도 될 수 있다. 이 공리를 만족하는 체계는 0 또는 1로 시작하는 자연수 이외에도 많이 존재한다.
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- ​(종종 첨자 "​+"​가 "​양수"​를 강조하기 위해 사용되기도 한다. 하지만 자연수가 아닌 다른 경우, 이 첨자는 "​음수가 아닌"​ 것을 강조하기 위해서 많이 사용된다. 예를 들어 $\mathbb{R}_{+} = [[0, \infty )$ , $\mathbb{Z}_{+} = \{ 0, 1, 2, \cdots \}$ 이다. 첨자 "​*"​는 0이 아니거나,​ [[역원]]이 존재하는 [[원소]]들의 [[집합]]을 나타내는 데 일반적으로 사용된다.)+ ​(종종 첨자 "​+"​가 "​양수"​를 강조하기 위해 사용되기도 한다. 하지만 자연수가 아닌 다른 경우, 이 첨자는 "​음수가 아닌"​ 것을 강조하기 위해서 많이 사용된다. 예를 들어 $\mathbb{R}_{+} = [0, \infty )$ , $\mathbb{Z}_{+} = \{ 0, 1, 2, \cdots \}$ 이다. 첨자 "​*"​는 0이 아니거나,​ [[역원]]이 존재하는 [[원소]]들의 [[집합]]을 나타내는 데 일반적으로 사용된다.)
  
  ​어떤 경우에는 W 또는 $\mathbb{W}$ 가 "​범자연수"​(whole number)의 [[집합]]을 나타내는 데 사용되기도 하는데, 여기서 [[범자연수]]는 종종 여기서 설명하는 [[자연수]]를 가리키기도 하고, [[정수]]를 가리키기도 한다.  ​어떤 경우에는 W 또는 $\mathbb{W}$ 가 "​범자연수"​(whole number)의 [[집합]]을 나타내는 데 사용되기도 하는데, 여기서 [[범자연수]]는 종종 여기서 설명하는 [[자연수]]를 가리키기도 하고, [[정수]]를 가리키기도 한다.
  
  ​집합론자들은 종종 모든 [[자연수]]의 [[집합]]을 ω로 표기하기도 하며, 이 경우 0은 명시적으로 [[자연수]]에 포함된다.  ​집합론자들은 종종 모든 [[자연수]]의 [[집합]]을 ω로 표기하기도 하며, 이 경우 0은 명시적으로 [[자연수]]에 포함된다.