자연수 (Natural Number)

수학에서 자연수는 양의 정수 (1, 2, 3, …), 또는 음이 아닌 정수 (0, 1, 2, 3, …)를 지칭한다. 전자는 수론에서, 후자는 집합론에서 보통 사용된다.

역사적으로 자연수의 엄밀한 수학적 정의는 여러 어려움을 겪으면서 만들어졌다. 페아노의 공리는 어떤 엄밀한 정의라도 반드시 만족해야 할 조건들을 제시하고, 집합론의 경우 특정한 구성(construction)을 사용해서 페아노의 공리를 만족하는 모델이 존재한다는 것을 보일 수 있다.

페아노의 공리

1. 0은 자연수이다.
2. 모든 자연수 a에 대해서 그 다음 수 S(a)가 존재한다.
3. 다음 수가 0인 자연수는 존재하지 않는다.
4. 서로 다른 자연수 a와b에 대해서, 그 다음 수 S(a)와 S(b) 또한 서로 다르다.
5. 0이 어떤 성질을 만족하고, 임의의 자연수 k가 그 성질을 만족할 때 그 다음 수 S(k) 또한 그 성질을 만족하면, 이 성질은 어떤 자연수에 대해서도 만족된다. (이는 수학적 귀납법이 올바르다는 것을 보장해 준다.)

여기서 정의에 사용된 “0”는 일반적으로 사용하는 숫자 0에 대응할 필요가 없으며, 공리를 만족하는 어떤 것이라도 될 수 있다. 이 공리를 만족하는 체계는 0 또는 1로 시작하는 자연수 이외에도 많이 존재한다.

수학자들은 N 또는 $\mathbb{N}$ 을 모든 자연수의 집합을 나타내는 데 사용한다. 이 집합은 정의에 따라서 무한 집합이지만 가산 집합이다.

집합에 0이 포함되었는지 아닌지를 분명히 하기 위해서 첨자 “0”이나 “*”를 붙이기도 한다. 즉,

• $\mathbb{N}_{0} = \{ 0, 1, 2, 3, \cdots \}$

• $\mathbb{N}_{*} = \{ 1, 2, 3, \cdots \}$

(종종 첨자 “+“가 “양수”를 강조하기 위해 사용되기도 한다. 하지만 자연수가 아닌 다른 경우, 이 첨자는 “음수가 아닌” 것을 강조하기 위해서 많이 사용된다. 예를 들어 $\mathbb{R}_{+} = [0, \infty )$ , $\mathbb{Z}_{+} = \{ 0, 1, 2, \cdots \}$ 이다. 첨자 “*”는 0이 아니거나, 역원이 존재하는 원소들의 집합을 나타내는 데 일반적으로 사용된다.)

어떤 경우에는 W 또는 $\mathbb{W}$ 가 “범자연수”(whole number)의 집합을 나타내는 데 사용되기도 하는데, 여기서 범자연수는 종종 여기서 설명하는 자연수를 가리키기도 하고, 정수를 가리키기도 한다.

집합론자들은 종종 모든 자연수의 집합을 ω로 표기하기도 하며, 이 경우 0은 명시적으로 자연수에 포함된다.