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일원배치법 (변량모형) (반복수 불균일)
데이터 구조
$$ y_{ij} = \mu + a_{i} + e_{ij} $$
- $j$ : 실험의 반복 $( j = 1,2, \cdots ,r_{i})$
가설
자료의 구조
||<|2> |||||||||| '[인자]의 수준
' ||<|2> '합계
' ||
|| $$A_{1}$$ || $$A_{2}$$ || $$A_{3}$$ || $$\cdots$$ || $$A_{l}$$ ||
|||||||||||||| ||
||<|4> '실험의
'BR'반 복
' || $$y_{11}$$ || $$y_{21}$$ || $$y_{31}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l1}$$ ||<|4> ||
|| $$y_{12}$$ || $$y_{22}$$ || $$y_{32}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l2}$$ ||
|| $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$\vdots$$ ||
|| $$y_{1r_{1}}$$ || $$y_{2r_{2}}$$ || $$y_{3r_{3}}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{lr_{l}}$$ ||
|||||||||||||| ||
|| '합계
' || $$T_{1.}$$ || $$T_{2.}$$ || $$T_{3.}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{l.}$$ || $$T$$ ||
|| '[평균]
' || $$\overline{y}_{1.}$$ || $$\overline{y}_{2.}$$ || $$\overline{y}_{3.}$$ || $$\cdots$$ || $$\overline{y}_{l.}$$ || $$\overline{\overline{y}}$$ ||
|| $$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}$$ || $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{N}$$ || || $$T_{i.} = \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}$$ || $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{r_{i}}$$ || || $$N = \sum_{i=1}^{l} r_{i}$$ || $$CT = \frac{T^{2}}{N}$$ ||
제곱합
개개의 데이터 $y_{ij}$와 총 평균 $\overline{\overline{y}}$의 차이는 다음과 같이 두 부분으로 나뉘어진다.
$$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$
양변을 제곱한 후에 모든 $i$와 $j$에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.
$$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$
위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $S_{T}$이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$의 변동, 오차변동인 $S_{A}$, $S_{E}$가 된다.
$$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{T}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}^{2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{A}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} r_{i} (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \frac{T_{i.}^{2}}{r_{i}} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{E}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} (y_{ij} - \overline{y}_{i.})^{2} \\ &= S_{_{T}}-S_{_{A}} \end{split}\end{displaymath}$$ 단, $CT$는 $CT =\frac{T^{2}}{N}$으로 수정항이라 부른다.
자유도
$$\nu_{_{A}} = l - 1$$
$$\nu_{_{E}} = N - l$$
$$\nu_{_{T}} = N-1$$
평균제곱
$$V_{_{A}} = \frac{S_{_{A}}}{\nu_{_{A}}}$$
$$V_{_{E}} = \frac{S_{_{E}}}{\nu_{_{E}}}$$
평균제곱의 기대값
$$E(V_{A}) = \sigma_{E}^{ \ 2} + \left[ \frac{N^{2} - \sum_{i=1}^{l} r_{i}^{ \ 2}}{N(l-1)} \right] \sigma_{A}^{ \ 2}$$
$$E(V_{E}) = \sigma_{E}^{ \ 2}$$
분산분석표
|| '[요인]
' || '[제곱합]
' $$SS$$ || '[자유도]
' $$DF$$ || '[평균제곱]
' $$MS$$ || $$E(MS)$$ || $$F_{0}$$ || '기각치
' || '[순변동]
' $$ S\acute{} $$ || '[기여율]
' $$\rho$$ ||
|||||||||||||||||| ||
|| $$A$$ || $$S_{_{A}}$$ || $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ || $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ || $$\sigma_{E}^{ \ 2} + \left[ \frac{N^{2} - \sum_{i=1}^{l} r_{i}^{ \ 2}}{N(l-1)} \right] \sigma_{A}^{ \ 2}$$ || $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ || $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ || $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ || $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ ||
|| $$E$$ || $$S_{_{E}}$$ || $$\nu_{_{E}} = l(r - 1)$$ || $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ || $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ || || || $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{}$$ || $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$ ||
|||||||||||||||||| ||
|| $$T$$ || $$S_{_{T}}$$ || $$\nu_{_{T}} = lr - 1$$ || || || || || $$S_{_{T}}$$ || $$1$$ ||
분산분석
$$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$
기각역 : $F_{0} > F(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}} \ ; \ \alpha)$