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일원배치법 (변량모형) (반복수 균일)
데이터 구조
$$ y_{ij} = \mu + a_{i} + e_{ij} $$
- $j$ : 실험의 반복 $( j = 1,2, \cdots ,r )$
가설
자료의 구조
||<|2> |||||||||| '[인자]의 수준
' ||<|2> '합계
' ||
|| $$A_{1}$$ || $$A_{2}$$ || $$A_{3}$$ || $$\cdots$$ || $$A_{l}$$ ||
|||||||||||||| ||
||<|4> '실험의
'BR'반 복
' || $$y_{11}$$ || $$y_{21}$$ || $$y_{31}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l1}$$ ||<|4> ||
|| $$y_{12}$$ || $$y_{22}$$ || $$y_{32}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l2}$$ ||
|| $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$\vdots$$ ||
|| $$y_{1r}$$ || $$y_{2r}$$ || $$y_{3r}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{lr}$$ ||
|||||||||||||| ||
|| '합계
' || $$T_{1.}$$ || $$T_{2.}$$ || $$T_{3.}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{l.}$$ || $$T$$ ||
|| '[평균]
' || $$\overline{y}_{1.}$$ || $$\overline{y}_{2.}$$ || $$\overline{y}_{3.}$$ || $$\cdots$$ || $$\overline{y}_{l.}$$ || $$\overline{\overline{y}}$$ ||
|| $$T_{i.} = \sum_{j=1}^{r} y_{ij}$$ || $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{r}$$ || || $$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} y_{ij}$$ || $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lr} = \frac{T}{N}$$ || || $$N = lr$$ || $$CT = \frac{T^{2}}{lr} = \frac{T^{2}}{N}$$ ||
제곱합
개개의 데이터   $$y_{ij}$$ 와 총 [평균]   $$\overline{\overline{y}}$$ 의 차이는 다음과 같이 두 부분으로 나뉘어진다.
$$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$
양변을 제곱한 후에 모든   $$i$$ 와   $$j$$ 에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.
$$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r}(y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$
위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $$S_{T}$$ 이고, 오른쪽 항은 차례대로   $$A$$ 의 [변동], [오차변동]인   $$S_{A}$$ , $$S_{E}$$ 가 된다.
$$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{T}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} y_{ij}^{2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{A}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= r \cdot \sum_{i=1}^{l} \overline{y}_{i.}^{2} -CT \\ &= \sum_{i=1}^{l} \frac{T_{i.}^{2}}{r} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{E}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} (y_{ij} - \overline{y}_{i.})^{2} \\ &= S_{_{T}}-S_{_{A}} \end{split}\end{displaymath}$$ 단,   $$CT$$ 는   $$CT = \frac{T^{2}}{lr}=\frac{T^{2}}{N}$$ 으로 [수정항]이라 부른다. ===== 자유도 ===== $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ $$\nu_{_{E}} = l(r-1)$$ $$\nu_{_{T}} = lr - 1 = N-1$$ ===== 평균제곱 ===== $$V_{_{A}} = \frac{S_{_{A}}}{\nu_{_{A}}}$$ $$V_{_{E}} = \frac{S_{_{E}}}{\nu_{_{E}}}$$ ===== 평균제곱의 기대값 ===== $$E(V_{A}) = \sigma_{E}^{ \ \ 2} + r \sigma_{A}^{ \ \ 2}$$ $$E(V_{E}) = \sigma_{E}^{ \ \ 2}$$ ===== 분산분석표 ===== || '''[요인]''' || '''[제곱합]''' $$SS$$ || '''[자유도]''' $$DF$$ || '''[평균제곱]''' $$MS$$ || $$E(MS)$$ || $$F_{0}$$ || '''기각치''' || '''[순변동]''' $$ S\acute{} $$ || '''[기여율]''' $$\rho$$ || |||||||||||||||||| || || $$A$$ || $$S_{_{A}}$$ || $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ || $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ || $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + r \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ || $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ || $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ || $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ || $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ || || $$E$$ || $$S_{_{E}}$$ || $$\nu_{_{E}} = l(r - 1)$$ || $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ || $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ || || || $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{}$$ || $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$ || |||||||||||||||||| || || $$T$$ || $$S_{_{T}}$$ || $$\nu_{_{T}} = lr - 1$$ || || || || || $$S_{_{T}}$$ || $$1$$ || ===== 분산분석 ===== $$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$ 기각역 : $F_{0} > F(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}} \ ; \ \alpha)$