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이원배치법 (모수모형) (반복 있음)
데이터 구조
$$ y_{ijk} = \mu + a_{i} + b_{j} + (ab)_{ij} + e_{ijk} $$
- $y_{ijk}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$에서 얻은 $k$번째 측정값
- $\mu$ : 실험전체의 모평균
- $a_{i}$ : $A_{i}$가 주는 효과
- $b_{j}$ : $B_{j}$가 주는 효과
- $(ab)_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$의 교호작용 효과
- $k$ : 실험의 반복 수 $( j = 1,2, \cdots ,r )$
자료의 구조
||<|2> [인자] $$B$$ |||||||||||||| [인자] $$A$$ ||<|2> 합계 ||<|2> [평균] || |||| $$A_{1}$$ |||| $$A_{2}$$ || $$\cdots$$ |||| $$A_{l}$$ || |||||||||||||||||||| || ||<|4> $$B_{1}$$ || $$y_{111}$$ ||<|2> $$T_{11.}$$ || $$y_{211}$$ ||<|2> $$T_{21.}$$ ||<|4> $$\cdots$$ || $$y_{l11}$$ ||<|2> $$T_{l1.}$$ ||<|4> $$T_{.1.}$$ ||<|4> $$\overline{y}_{.1.}$$ || || $$y_{112}$$ || $$y_{212}$$ || $$y_{l12}$$ || || $$\vdots$$ ||<|2> $$\overline{y}_{11.}$$ || $$\vdots$$ ||<|2> $$\overline{y}_{21.}$$ || $$\vdots$$ ||<|2> $$\overline{y}_{l1.}$$ || || $$y_{11r}$$ || $$y_{21r}$$ || $$y_{l1r}$$ || ||<|4> $$B_{2}$$ || $$y_{121}$$ ||<|2> $$T_{12.}$$ || $$y_{221}$$ ||<|2> $$T_{22.}$$ ||<|4> $$\cdots$$ || $$y_{l21}$$ ||<|2> $$T_{l2.}$$ ||<|4> $$T_{.2.}$$ ||<|4> $$\overline{y}_{.2.}$$ || || $$y_{122}$$ || $$y_{222}$$ || $$y_{l22}$$ || || $$\vdots$$ ||<|2> $$\overline{y}_{12.}$$ || $$\vdots$$ ||<|2> $$\overline{y}_{22.}$$ || $$\vdots$$ ||<|2> $$\overline{y}_{l2.}$$ || || $$y_{12r}$$ || $$y_{22r}$$ || $$y_{l2r}$$ || || $$\vdots$$ |||| $$\vdots$$ |||| $$\vdots$$ || $$\vdots$$ |||| $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || ||<|4> $$B_{m}$$ || $$y_{1m1}$$ ||<|2> $$T_{1m.}$$ || $$y_{2m1}$$ ||<|2> $$T_{2m.}$$ ||<|4> $$\cdots$$ || $$y_{lm1}$$ ||<|2> $$T_{lm.}$$ ||<|4> $$T_{.m.}$$ ||<|4> $$\overline{y}_{.m.}$$ || || $$y_{1m2}$$ || $$y_{2m2}$$ || $$y_{lm2}$$ || || $$\vdots$$ ||<|2> $$\overline{y}_{1m.}$$ || $$\vdots$$ ||<|2> $$\overline{y}_{2m.}$$ || $$\vdots$$ ||<|2> $$\overline{y}_{lm.}$$ || || $$y_{1mr}$$ || $$y_{2mr}$$ || $$y_{lmr}$$ || |||||||||||||||||||| || || 합계 |||| $$T_{1..}$$ |||| $$T_{2..}$$ || $$\cdots$$ |||| $$T_{l..}$$ || $$T$$ || || || [평균] |||| $$\overline{y}_{1..}$$ |||| $$\overline{y}_{2..}$$ || $$\cdots$$ |||| $$\overline{y}_{l..}$$ || || $$\overline{\overline{y}}$$ ||
|| $$T_{i..} = \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{r} y_{ijk}$$ || $$\overline{y}_{i..} = \frac{T_{i..}}{mr}$$ ||
|| $$T_{.j.} = \sum_{i=1}^{l} \sum_{k=1}^{r} y_{ijk}$$ || $$\overline{y}_{.j.} = \frac{T_{.j.}}{lr}$$ ||
|| $$T_{ij.} = \sum_{k=1}^{r} y_{ijk}$$ || $$\overline{y}_{ij.} = \frac{T_{ij.}}{r}$$ ||
|| $$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{r} y_{ijk}$$ || $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lmr} = \frac{T}{N}$$ ||
|| $$N = lmr$$ || $$CT = \frac{T^{2}}{lmr} = \frac{T^{2}}{N}$$ ||
제곱합
개개의 데이터 $y_{ijk}$와 총평균 $\overline{\overline{y}}$의 차이는 다음과 같이 네 부분으로 나뉘어진다.
$$(y_{ijk}-\overline{\overline{y}})=(y_{i..}-\overline{\overline{y}})+(y_{.j.}-\overline{\overline{y}})+(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{\overline{y}})+(y_{ijk}-\overline{y}_{ij.})$$
양변을 제곱한 후에 모든 $i, \ j, \ k$에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.
$$\begin{displaymath}\begin{split} \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{\overline{y}})^{2} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{r}(y_{i..}-\overline{\overline{y}})^{2}+\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{r}(y_{.j.}-\overline{\overline{y}})^{2}+\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{r}(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{\overline{y}})^{2} \\ &+ \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{ij.})^{2} \end{split}\end{displaymath}$$ 위 식에서 왼쪽 항은 [[총변동]] $S_{T}$이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$의 [[변동]], $B$의 [[변동]], $A, \ B$의 [[교호작용]]의 변동 [[오차변동]]인 $S_{A}$, $S_{B}$, $S_{A \times B}$, $S_{E}$가 된다.
$$\begin{displaymath}\begin{split} S_{T} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}^{ \ 2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{r}(y_{i..}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l}\frac{T_{i..}^{ \ 2}}{mr}-CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{B} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{r}(y_{.j.}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{j=1}^{m}\frac{T_{.j.}^{ \ 2}}{lr}-CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A \times B} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{r}(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{AB} - S_{A} - S_{B} \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{AB} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{r}(\overline{y}_{ij.}-\overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m} \frac{T_{ij.}^{ \ 2}}{r} -CT \end{split}\end{displaymath}$$ $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{E} &= \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{ij.})^{2} \\ &= S_{T}-S_{AB} \end{split}\end{displaymath}$$ ===== 자유도 ===== $$\nu_{_{A}} = l-1$$ $$\nu_{_{B}} = m-1$$ $$\nu_{_{A \times B}} = \nu_{_{AB}} - \nu_{_{A}} - \nu_{_{B}} = (l-1)(m-1)$$ $$\nu_{_{AB}} = lm-1$$ $$\nu_{_{E}} = \nu_{_{T}} - \nu_{_{AB}}=lm(r-1)$$ $$\nu_{_{T}} = lmr-1=N-1$$ ===== 평균제곱 ===== $$V_{A} = \frac{S_{A}}{\nu_{_{A}}}$$ $$V_{B} = \frac{S_{B}}{\nu_{_{B}}}$$ $$V_{A \times B} = \frac{S_{A \times B}}{\nu_{_{A \times B}}}$$ $$V_{AB} = \frac{S_{AB}}{\nu_{_{AB}}}$$ $$V_{E} = \frac{S_{E}}{\nu_{_{E}}}$$ ===== 평균제곱의 기대값 ===== $$E(V_{A})=\sigma_{E}^{ \ 2} + mr \sigma_{A}^{ \ 2}$$ $$E(V_{B})=\sigma_{E}^{ \ 2} + lr \sigma_{B}^{ \ 2}$$ $$E(V_{A \times B})=\sigma_{E}^{ \ 2} + r \sigma_{A \times B}^{ \ 2}$$ $$E(V_{E})=\sigma_{E}^{ \ 2}$$ ===== 분산분석표 ===== || '''[인자]''' || '''[제곱합]''' $$SS$$ || '''[자유도]''' $$DF$$ || '''[평균제곱]''' $$MS$$ || $$E(MS)$$ || $$F_{0}$$ || '''기각치''' || '''[순변동]''' $$ S\acute{} $$ || '''[기여율]''' $$\rho$$ || |||||||||||||||||| || || $$A$$ || $$S_{_{A}}$$ || $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ || $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ || $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m r \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ || $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ || $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ || $$S_{_{A}}\acute{}$$ || $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ || || $$B$$ || $$S_{_{B}}$$ || $$\nu_{_{B}} = m - 1$$ || $$V_{_{B}} = S_{_{B}} / \nu_{_{B}}$$ || $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l r\ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$ || $$V_{_{B}}/V_{_{E}}$$ || $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{B}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ || $$S_{_{B}}\acute{}$$ || $$S_{_{B}}\acute{} / S_{_{T}} $$ || || $$A \times B$$ || $$S_{_{A \times B}}$$ || $$\nu_{_{A \times B}} = (l - 1)(m - 1)$$ || $$V_{_{A \times B}} = S_{_{A \times B}} / \nu_{_{A \times B}}$$ || $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + r \ \sigma_{_{A \times B}}^{ \ 2}$$ || $$V_{_{A \times B}}/V_{_{E}}$$ || $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A \times B}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ || $$S_{_{A \times B}}\acute{}$$ || $$S_{_{A \times B}}\acute{} / S_{_{T}} $$ || || $$E$$ || $$S_{_{E}}$$ || $$\nu_{_{E}} = lm(r - 1)$$ || $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ || $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ || || || $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{} - S_{_{B}}\acute{} - S_{_{A \times B}}\acute{}$$ || $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$ || |||||||||||||||||| || || $$T$$ || $$S_{_{T}}$$ || $$\nu_{_{T}} = lmr - 1$$ || || || || || $$S_{_{T}}$$ || $$1$$ || ===== 분산분석 ===== 인자   $$A$$ 에 대한 [분산분석] $$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$ [기각역] :   $$F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}})$$ 인자   $$B$$ 에 대한 [분산분석] $$F_{0}=\frac{V_{_{B}}}{V_{_{E}}}$$ [기각역] :   $$F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{B}},\nu_{_{E}})$$ 인자   $$A , \ B$$ 의 [교호작용] 대한 [분산분석] $$F_{0}=\frac{V_{_{A \times B}}}{V_{_{A \times B}}}$$ [기각역] :   $$F_{0} > F_{1-\alpha}(\nu_{_{A \times B}},\nu_{_{E}})$$ ===== 각 [수준]의 [모평균]의 [추정] ===== * '''[인자]   $$A$$ 의 [모평균]에 관한 [추정]''' $$i$$ [수준]에서의 [모평균]   $$\mu(A_{i})$$ 의 [점추정]값 $$\hat{\mu}(A_{i})=\widehat{\mu + a_{i}} = \overline{y}_{i..}$$ $$i$$ [수준]에서의 [모평균]   $$\mu(A_{i})$$ 의   $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다. $$\hat{\mu}(A_{i})= \left( \overline{y}_{i..} - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{mr}} \ , \ \overline{y}_{i..} + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{mr}} \right)$$ ---- * '''[인자]   $$B$$ 의 [모평균]에 관한 [추정]''' $$j$$ [수준]에서의 [모평균]   $$\mu(B_{j})$$ 의 [점추정]값 $$\hat{\mu}(B_{j})=\widehat{\mu + b_{j}} = \overline{y}_{.j.}$$ $$j$$ [수준]에서의 [모평균]   $$\mu(B_{j})$$ 의   $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다. $$\hat{\mu}(B_{j})= \left( \overline{y}_{.j.} - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{lr}} \ , \ \overline{y}_{.j.} + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{lr}} \right)$$ ---- * '''[인자]   $$A$$ 와   $$B$$ 의 [모평균]에 관한 [추정]''' ([인자]   $$A$$ 와   $$B$$ 의 [교호작용]이 유의한 경우) $$A$$ [인자]의   $$i$$ [수준]과   $$B$$ [인자]의   $$j$$ [수준]에서의 [모평균]   $$\mu(A_{i}B_{j})$$ 의 [점추정]값 $$\hat{\mu}(A_{i}B_{j})=\widehat{\mu+a_{i}+b_{j}}=\overline{y}_{ij.}$$ $$A$$ [인자]의   $$i$$ [수준]과   $$B$$ [인자]의   $$j$$ [수준]에서의 [모평균]   $$\mu(A_{i}B_{j})$$ 의   $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다. $$\hat{\mu}(A_{i}B_{j})= \left( (\overline{y}_{ij.}) - t_{\alpha/2}(\nu_{E})\sqrt{\frac{V_{E}}{r}} \ , \ (\overline{y}_{ij.}) + t_{\alpha/2}(\nu_{E})\sqrt{\frac{V_{E}}{r} \right)$$ ---- * '''[인자]   $$A$$ 와   $$B$$ 의 [모평균]에 관한 [추정]''' ([인자]   $$A$$ 와   $$B$$ 의 [교호작용]이 무시되는 경우) $$A$$ [인자]의   $$i$$ [수준]과   $$B$$ [인자]의   $$j$$ [수준]에서의 [모평균]   $$\mu(A_{i}B_{j})$$ 의 [점추정]값 $$\hat{\mu}(A_{i}B_{j})=\widehat{\mu+a_{i}+b_{j}}=\overline{y}_{i..} + \overline{y}_{.j.} - \overline{\overline{y}}$$ $$A$$ [인자]의   $$i$$ [수준]과   $$B$$ [인자]의   $$j$$ [수준]에서의 [모평균]   $$\mu(A_{i}B_{j})$$ 의   $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다. $$\hat{\mu}(A_{i}B_{j})= \left( (\overline{y}_{i..} + \overline{y}_{.j.} - \overline{\overline{y}}) - t_{\alpha/2}(\nu_{E})\sqrt{\frac{V_{E}}{n_{e}}} \ , \ (\overline{y}_{i..} + \overline{y}_{.j.} - \overline{\overline{y}}) + t_{\alpha/2}(\nu_{E})\sqrt{\frac{V_{E}}{n_{e}}} \right)$$ 단,   $$n_{e}$$ 는 [유효반복수]이고   $$n_{e} = \frac{lmr}{l+m-1}$$ 이다. ---- ===== 각 [수준]의 [모평균]차의 [추정] ===== * '''[인자]   $$A$$ 의 [모평균]차에 관한 [추정]''' $$i$$ [수준]과   $$j$$ [수준]의 [모평균]차   $$\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$$ 의 [점추정]값 $$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})} = \overline{y}_{i..} - \overline{y}_{j..}$$ $$i$$ [수준]과   $$j$$ [수준]의 [모평균]차   $$\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$$ 의   $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다. $$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})}= \left( (\overline{y}_{i..} - \overline{y}_{j..}) - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{mr}} \ , \ (\overline{y}_{i..} - \overline{y}_{j..}) + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{mr}} \right)$$ ---- * '''[인자]   $$B$$ 의 [모평균]차에 관한 [추정]''' $$i$$ [수준]과   $$j$$ [수준]의 [모평균]차   $$\mu(B_{i})-\mu(B_{j})$$ 의 [점추정]값 $$\widehat{\mu(B_{i})-\mu(B_{j})} = \overline{y}_{.i.} - \overline{y}_{.j.}$$ $$i$$ [수준]과   $$j$$ [수준]의 [모평균]차   $$\mu(B_{i})-\mu(B_{j})$$ 의   $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다. $$\widehat{\mu(B_{i})-\mu(B_{j})}= \left( (\overline{y}_{.i.} - \overline{y}_{.j.}) - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{lr}} \ , \ (\overline{y}_{.i.} - \overline{y}_{.j.}) + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{lr}} \right)$$