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표준정규분포 (Standard Normal Distribution)

정의

표준정규분포정규분포에서 평균 $\mu = 0$이고, 분산 $\sigma^2 = 1$인 분포를 말한다.

표기

확률변수 $X$가 평균 $\mu = 0$, 분산 $\sigma^{2} = 1$을 갖는 표준정규분포라 한다면 아래와 같이 표기 한다.

$$ X \sim N(0 , 1)$$

받침

$$ x \in ( \ - \infty \ , \ \infty \ ) $$

확률밀도함수

$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}} $$

누적분포함수

$$ F(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \mathrm{erf} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right] $$

단, $\mathrm{erf}(x)$는 오차함수)

기대값

$$E(X) = 0$$

중앙값

$$ Mdn = 0 $$

최빈값

$$ Mo = 0 $$

분산

$$Var(X) = 1$$

왜도

$$ \gamma_{1} = 0 $$

첨도

$$ \gamma_{2} = 0 $$

타 분포와의 관계

참고사항

표준정규분포에서 $Z_{\alpha}$는 아래와 같이 정의 된다.


표준정규분포에서 $\Phi (a)$는 아래와 같이 정의 된다.

단, $F(x)$는 표준정규분포누적분포함수이다.