일원배치법 (변량모형) (반복수 균일)

데이터 구조

요인 $A$ 는 변량인자

$y_{ij} = \mu + a_{i} + e_{ij}$

$i$ : 인자 $A$ 의 수준 $( i = 1,2, \cdots ,l )$
$j$ : 실험의 반복 $( j = 1,2, \cdots ,r )$

$a_{i} \sim N(0, \sigma_{A}^{ \ 2})$ 이고 서로 독립
$e_{ij} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$ 이고 서로 독립
$Cov(a_{i} , e_{ij}) = 0$

가설

인자 $A$ 의 각 수준에서 특성치의 차이가 유의한가?

귀무가설 : $H_{0} : \sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} = 0$
대립가설 : $H_{1} : \sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} > 0$

자료의 구조

	인자의 수준					합계
	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$\cdots$	$A_{l}$	합계
실험의 반복	$y_{11}$	$y_{21}$	$y_{31}$	$\cdots$	$y_{l1}$
	$y_{12}$	$y_{22}$	$y_{32}$	$\cdots$	$y_{l2}$
	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$		$\vdots$
	$y_{1r}$	$y_{2r}$	$y_{3r}$	$\cdots$	$y_{lr}$
합계	$T_{1.}$	$T_{2.}$	$T_{3.}$	$\cdots$	$T_{l.}$	$T$
평균	$\overline{y}_{1.}$	$\overline{y}_{2.}$	$\overline{y}_{3.}$	$\cdots$	$\overline{y}_{l.}$	$\overline{\overline{y}}$

$T_{i.} = \sum_{j=1}^{r} y_{ij}$	$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{r}$
$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} y_{ij}$	$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lr} = \frac{T}{N}$
$N = lr$	$CT = \frac{T^{2}}{lr} = \frac{T^{2}}{N}$

제곱합

개개의 데이터 $y_{ij}$ 와 총 평균 $\overline{\overline{y}}$ 의 차이는 다음과 같이 두 부분으로 나뉘어진다.

$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.})$

양변을 제곱한 후에 모든 $i$ 와 $j$ 에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.

$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r}(y_{ij} - \overline{y}_{i.})$

위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $S_{T}$ 이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$ 의 변동, 오차변동인 $S_{A}$ , $S_{E}$ 가 된다.

$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{T}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} y_{ij}^{2} - CT \end{split}\end{displaymath}$ $\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{A}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= r \cdot \sum_{i=1}^{l} \overline{y}_{i.}^{2} -CT \\ &= \sum_{i=1}^{l} \frac{T_{i.}^{2}}{r} - CT \end{split}\end{displaymath}$ $\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{E}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} (y_{ij} - \overline{y}_{i.})^{2} \\ &= S_{_{T}}-S_{_{A}} \end{split}\end{displaymath}$ 단, $CT$ 는 $CT = \frac{T^{2}}{lr}=\frac{T^{2}}{N}$ 으로 수정항이라 부른다.

자유도

$\nu_{_{A}} = l - 1$

$\nu_{_{E}} = l(r-1)$

$\nu_{_{T}} = lr - 1 = N-1$

평균제곱

$V_{_{A}} = \frac{S_{_{A}}}{\nu_{_{A}}}$

$V_{_{E}} = \frac{S_{_{E}}}{\nu_{_{E}}}$

평균제곱의 기대값

$E(V_{A}) = \sigma_{E}^{ \ \ 2} + r \sigma_{A}^{ \ \ 2}$

$E(V_{E}) = \sigma_{E}^{ \ \ 2}$

분산분석표

요인	제곱합 $SS$	자유도 $DF$	평균제곱 $MS$	$E(MS)$	$F_{0}$	기각치	순변동 $S\acute{}$	기여율 $\rho$
$A$	$S_{_{A}}$	$\nu_{_{A}} = l - 1$	$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$	$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + r \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$	$V_{_{A}}/V_{_{E}}$	$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$	$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$	$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}}$
$E$	$S_{_{E}}$	$\nu_{_{E}} = l(r - 1)$	$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$	$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$			$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{}$	$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}}$
$T$	$S_{_{T}}$	$\nu_{_{T}} = lr - 1$					$S_{_{T}}$	$1$

분산분석

$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$

기각역 : $F_{0} > F(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}} \ ; \ \alpha)$

분산의 추정

$\hat{\sigma}_{A}^{ \ 2} = \frac{V_{A}-V_{E}}{r}$