크래머-라오 부등식 (Cramer-Rao Ineguality)

<latex>X_{1}, … , X_{n}</latex> 을 확률밀도함수(확률질량함수) <latex>f(x;\theta)</latex>를 갖는 모집단으로 부터의 확률표본이라 하고, 집합 <latex>\{ x:f(x;\theta) > 0 \}</latex>이 <latex>\theta</latex>와는 무관하며 <latex>{\frac{d}{d \theta}} f(x;\theta)</latex> 가 존재한다고 하자. <latex>\hat{\theta}</latex> 이 <latex>\theta</latex> 의 불편추정량이면 <latex>\hat{\theta}</latex> 의 분산은 다음 부등식을 만족한다.

<latex>Var( \hat{\theta}) \geq \frac{1}{ n E \left\{ \left[ \frac{d}{d \theta} \ln f(x;\theta) \right]^{2} \right\} }</latex>

여기서 우변을 [크래머-라오 분산 하한]이라 한다.