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일원배치법_모수모형_반복수_불균일 [2012/07/23 18:24] moonrepeat [데이터 구조] |
일원배치법_모수모형_반복수_불균일 [2021/03/10 21:42] (현재) |
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|---|---|---|---|
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| * $e_{ij} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$이고 서로 [[독립]] | * $e_{ij} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$이고 서로 [[독립]] | ||
| - | ===== [가설] ===== | + | ===== 가설 ===== |
| - | [인자] $$A$$ 의 각 수준에서 [특성치]의 차이가 유의한가? | + | [[인자]] $A$의 각 [[수준]]에서 [[특성치]]의 차이가 유의한가? |
| - | [귀무가설] : $$H_{0} : a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{l} = 0$$ | + | * [[귀무가설]] : $H_{0} : a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{l} = 0$ |
| + | * [[대립가설]] : $H_{1} : a_{i} \neq 0$ | ||
| - | [대립가설] : $$H_{1} : a_{i} \neq 0$$ | + | 또한, [[모수모형]]은 $\sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} = \sum_{i=1}^{l} \frac{a_{i}^{ \ \ 2}}{l-1}$이므로 |
| - | + | * [[귀무가설]] : $H_{0} : \sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} = 0$ | |
| - | 또한, [모수모형]은   $$\sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} = \sum_{i=1}^{l} \frac{a_{i}^{ \ \ 2}}{l-1}$$ 이므로 | + | * [[대립가설]] : $H_{1} : \sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} > 0$ |
| - | + | ||
| - | [귀무가설] : $$H_{0} : \sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} = 0$$ | + | |
| - | + | ||
| - | [대립가설] : $$H_{1} : \sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} > 0$$ | + | |
| 로 표현 가능하다. | 로 표현 가능하다. | ||
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| ===== 자료의 구조 ===== | ===== 자료의 구조 ===== | ||
| - | ||<|2> |||||||||| '''[인자]의 수준''' ||<|2> '''합계''' || | + | ^ ^ [[인자]]의 [[수준]] ^^^^^ 합계 | |
| - | || $$A_{1}$$ || $$A_{2}$$ || $$A_{3}$$ || $$\cdots$$ || $$A_{l}$$ || | + | ^:::^ $$A_{1}$$ ^ $$A_{2}$$ ^ $$A_{3}$$ ^ $$\cdots$$ ^ $$A_{l}$$ ^:::| |
| - | |||||||||||||| || | + | | 실험의\\ [[반복]] | $$y_{11}$$ | $$y_{21}$$ | $$y_{31}$$ | $$\cdots$$ | $$y_{l1}$$ | | |
| - | ||<|4> '''실험의'''[[BR]]'''반 복''' || $$y_{11}$$ || $$y_{21}$$ || $$y_{31}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l1}$$ ||<|4> || | + | |:::| $$y_{12}$$ | $$y_{22}$$ | $$y_{32}$$ | $$\cdots$$ | $$y_{l2}$$ |:::| |
| - | || $$y_{12}$$ || $$y_{22}$$ || $$y_{32}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l2}$$ || | + | |:::| $$\vdots$$ | $$\vdots$$ | $$\vdots$$ | | $$\vdots$$ |:::| |
| - | || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$\vdots$$ || | + | |:::| $$y_{1r_{1}}$$ | $$y_{2r_{2}}$$ | $$y_{3r_{3}}$$ | $$\cdots$$ | $$y_{lr_{l}}$$ |:::| |
| - | || $$y_{1r_{1}}$$ || $$y_{2r_{2}}$$ || $$y_{3r_{3}}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{lr_{l}}$$ || | + | ^ 합계 ^ $$T_{1.}$$ ^ $$T_{2.}$$ ^ $$T_{3.}$$ ^ $$\cdots$$ ^ $$T_{l.}$$ ^ $$T$$ | |
| - | |||||||||||||| || | + | ^ [[평균]] ^ $$\overline{y}_{1.}$$ ^ $$\overline{y}_{2.}$$ ^ $$\overline{y}_{3.}$$ ^ $$\cdots$$ ^ $$\overline{y}_{l.}$$ ^ $$\overline{\overline{y}}$$ | |
| - | || '''합계''' || $$T_{1.}$$ || $$T_{2.}$$ || $$T_{3.}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{l.}$$ || $$T$$ || | + | |
| - | || '''[평균]''' || $$\overline{y}_{1.}$$ || $$\overline{y}_{2.}$$ || $$\overline{y}_{3.}$$ || $$\cdots$$ || $$\overline{y}_{l.}$$ || $$\overline{\overline{y}}$$ || | + | |
| - | || $$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}$$ || $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{N}$$ || | + | | $$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}$$ | $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{N}$$ | |
| - | || $$T_{i.} = \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}$$ || $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{r_{i}}$$ || | + | | $$T_{i.} = \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}$$ | $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{r_{i}}$$ | |
| - | || $$N = \sum_{i=1}^{l} r_{i}$$ || $$CT = \frac{T^{2}}{N}$$ || | + | | $$N = \sum_{i=1}^{l} r_{i}$$ | $$CT = \frac{T^{2}}{N}$$ | |
| - | ---- | + | ===== 제곱합 ===== |
| - | ===== [제곱합] ===== | + | 개개의 데이터 $y_{ij}$와 총 [[평균]] $\overline{\overline{y}}$의 차이는 다음과 같이 두 부분으로 나뉘어진다. |
| - | 개개의 데이터   $$y_{ij}$$ 와 총 [평균]   $$\overline{\overline{y}}$$ 의 차이는 다음과 같이 두 부분으로 나뉘어진다. | + | |
| - | $$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$ | + | $$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$ |
| - | 양변을 제곱한 후에 모든   $$i$$ 와   $$j$$ 에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다. | + | 양변을 제곱한 후에 모든 $i$와 $j$에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다. |
| - | $$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$ | + | $$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$ |
| - | + | ||
| - | 위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $$S_{T}$$ 이고, 오른쪽 항은 차례대로   $$A$$ 의 [변동], [오차변동]인   $$S_{A}$$ , $$S_{E}$$ 가 된다. | + | |
| + | 위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $S_{T}$이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$의 [[변동]], [[오차변동]]인 $S_{A}$, $S_{E}$가 된다. | ||
| $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{T}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}^{2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ | $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{T}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}^{2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ | ||
| 줄 59: | 줄 51: | ||
| $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{E}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} (y_{ij} - \overline{y}_{i.})^{2} \\ &= S_{_{T}}-S_{_{A}} \end{split}\end{displaymath}$$ | $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{E}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} (y_{ij} - \overline{y}_{i.})^{2} \\ &= S_{_{T}}-S_{_{A}} \end{split}\end{displaymath}$$ | ||
| - | + | 단, $CT$는 $CT =\frac{T^{2}}{N}$으로 [[수정항]]이라 부른다. | |
| - | 단,   $$CT$$ 는   $$CT =\frac{T^{2}}{N}$$ 으로 [수정항]이라 부른다. | + | ===== 자유도 ===== |
| - | ---- | + | |
| - | ===== [자유도] ===== | + | |
| $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ | $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ | ||
| 줄 68: | 줄 58: | ||
| $$\nu_{_{T}} = N-1$$ | $$\nu_{_{T}} = N-1$$ | ||
| - | ---- | + | ===== 평균제곱 ===== |
| - | ===== [평균제곱] ===== | + | |
| $$V_{_{A}} = \frac{S_{_{A}}}{\nu_{_{A}}}$$ | $$V_{_{A}} = \frac{S_{_{A}}}{\nu_{_{A}}}$$ | ||
| $$V_{_{E}} = \frac{S_{_{E}}}{\nu_{_{E}}}$$ | $$V_{_{E}} = \frac{S_{_{E}}}{\nu_{_{E}}}$$ | ||
| - | ---- | + | ===== 평균제곱의 기대값 ===== |
| - | ===== [평균제곱의 기대값] ===== | + | |
| $$E(V_{A}) = \sigma_{E}^{ \ 2} + \frac{\sum_{i=1}^{l} r_{i}a_{i}^{ \ 2}}{l-1}$$ | $$E(V_{A}) = \sigma_{E}^{ \ 2} + \frac{\sum_{i=1}^{l} r_{i}a_{i}^{ \ 2}}{l-1}$$ | ||
| $$E(V_{E}) = \sigma_{E}^{ \ 2}$$ | $$E(V_{E}) = \sigma_{E}^{ \ 2}$$ | ||
| - | ---- | + | ===== 분산분석표 ===== |
| - | ===== [분산분석표] ===== | + | ^ [[요인]] ^ [[제곱합]]\\ $SS$ ^ [[자유도]]\\ $DF$ ^ [[평균제곱]]\\ $MS$ ^ $E(MS)$ ^ $F_{0}$ ^ [[기각치]] ^ [[순변동]]\\ $S\acute{}$ ^ [[기여율]]\\ $\rho$ | |
| - | || '''[요인]''' || '''[제곱합]''' $$SS$$ || '''[자유도]''' $$DF$$ || '''[평균제곱]''' $$MS$$ || $$E(MS)$$ || $$F_{0}$$ || '''기각치''' || '''[순변동]''' $$ S\acute{} $$ || '''[기여율]''' $$\rho$$ || | + | | $$A$$ | $$S_{_{A}}$$ | $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ | $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ | $$\sigma_{E}^{ \ 2} + \frac{\sum_{i=1}^{l} r_{i}^{ \ 2} a_{i}^{ \ 2}}{l-1}$$ | $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ | $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ | $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ | $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ | |
| - | |||||||||||||||||| || | + | | $$E$$ | $$S_{_{E}}$$ | $$\nu_{_{E}} = l(r - 1)$$ | $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ | | | $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{}$$ | $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$ | |
| - | || $$A$$ || $$S_{_{A}}$$ || $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ || $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ || $$\sigma_{E}^{ \ 2} + \frac{\sum_{i=1}^{l} r_{i}^{ \ 2} a_{i}^{ \ 2}}{l-1}$$ || $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ || $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ || $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ || $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ || | + | | $$T$$ | $$S_{_{T}}$$ | $$\nu_{_{T}} = lr - 1$$ | | | | | $$S_{_{T}}$$ | $$1$$ | |
| - | || $$E$$ || $$S_{_{E}}$$ || $$\nu_{_{E}} = l(r - 1)$$ || $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ || $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ || || || $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{}$$ || $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$ || | + | ===== 분산분석 ===== |
| - | |||||||||||||||||| || | + | |
| - | || $$T$$ || $$S_{_{T}}$$ || $$\nu_{_{T}} = lr - 1$$ || || || || || $$S_{_{T}}$$ || $$1$$ || | + | |
| - | ---- | + | |
| - | ===== [분산분석] ===== | + | |
| $$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$ | $$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$ | ||
| - | 기각역 :   $$F_{0} > F(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}} \ ; \ \alpha)$$ | + | [[기각역]] : $F_{0} > F(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}} \ ; \ \alpha)$ |
| - | ---- | + | ===== 각 수준의 모평균의 추정 ===== |
| - | ===== 각 [수준]의 [모평균]의 [추정] ===== | + | $\mu_{i}$의 $100(1-\alpha) \% $ [[신뢰구간]]은 아래와 같다. |
| - | $$\mu_{i}$$ 의   $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다. | + | |
| - | $$\mu_{i} = \left( \ \overline{y}_{i.} - t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{_{E}}}{r_{i}}} \ , \ \overline{y}_{i.} + t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{_{E}}}{r_{i}}} \ \right)$$ | + | $$\mu_{i} = \left( \ \overline{y}_{i.} - t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{_{E}}}{r_{i}}} \ , \ \overline{y}_{i.} + t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{_{E}}}{r_{i}}} \ \right)$$ |
| - | ---- | + | ===== 각 수준의 모평균차의 추정 ===== |
| - | ===== 각 [수준]의 [모평균차]의 [추정] ===== | + | $\mu_{i} - \mu_{j}$의 $100(1-\alpha) \%$ [[신뢰구간]]은 아래와 같다. |
| - | $$\mu_{i} - \mu_{j}$$ 의   $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다. | + | |
| - | $$\mu_{i} - \mu_{j} = \left( \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) - t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{V_{_{E}} \left( \frac{1}{r_{i}} + \frac{1}{r_{j}} \right) } \ , \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) + t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{V_{_{E}} \left( \frac{1}{r_{i}} + \frac{1}{r_{j}} \right) } \ \right) $$ | + | $$\mu_{i} - \mu_{j} = \left( \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) - t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{V_{_{E}} \left( \frac{1}{r_{i}} + \frac{1}{r_{j}} \right) } \ , \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) + t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{V_{_{E}} \left( \frac{1}{r_{i}} + \frac{1}{r_{j}} \right) } \ \right) $$ |
| - | ---- | + | ===== 각 수준의 모평균차의 검정 ===== |
| - | ===== 각 [수준]의 [모평균차]의 [검정] ===== | + | 두 [[수준]] $i$, $j$간의 [[표본평균]]의 차 $| \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.} |$를 구하여 이 값이 [[최소유의차]]([[LSD]])보다 크면 두 [[수준]]간에 차이가 유의하고 반대로 작으면 두 [[수준]]간의 차이는 유의하지 않다고 결론내릴 수 있다. |
| - | 두 [수준]   $$i,j$$ 간의 [표본평균]의 차   $$ | \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.} | $$ 를 구하여 이 값이 [최소유의차]([LSD])보다 크면 두 [수준]간에 차이가 유의하고 반대로 작으면 두 [수준]간의 차이는 유의하지 않다고 결론내릴 수 있다. | + | |
| - | [최소유의차]   [LSD]는 아래와 같다. | + | [[최소유의차]] [[LSD]]는 아래와 같다. |
| - | $$\operatorname{LSD} = t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{V_{_{E}} \left( \frac{1}{r_{i}} + \frac{1}{r_{j}} \right) }$$ | + | $$\mathrm{LSD} = t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{V_{_{E}} \left( \frac{1}{r_{i}} + \frac{1}{r_{j}} \right) }$$ |
| - | ---- | + | ===== 오차분산의 추정 ===== |
| - | ===== [오차분산]의 [추정] ===== | + | $\sigma_{_{E}}^{ \ \ 2}$의 $100(1-\alpha) \% $ [[신뢰구간]]은 아래와 같다. |
| - | $$\sigma_{_{E}}^{ \ \ 2}$$ 의   $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다. | + | |
| - | $$\sigma_{_{E}}^{ \ \ 2} = \left( \frac{S_{_{E}}}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}} ( \nu_{_{E}}) } \ , \ \frac{S_{_{E}}}{\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}} ( \nu_{_{E}}) } \right)$$ | + | $$\sigma_{_{E}}^{ \ \ 2} = \left( \frac{S_{_{E}}}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}} ( \nu_{_{E}}) } \ , \ \frac{S_{_{E}}}{\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}} ( \nu_{_{E}}) } \right)$$ |
| ---- | ---- | ||
| * [[실험계획법]] | * [[실험계획법]] | ||
| * [[일원배치법]] | * [[일원배치법]] | ||