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기하_분포 [2017/08/07 16:20]
moonrepeat 		기하_분포 [2021/03/10 21:42] (현재)
줄 8: 줄 8:
  $$ p(x) = p \ (1-p)^{x} = p \ q^{x} $$  $$ p(x) = p \ (1-p)^{x} = p \ q^{x} $$
  
- +<​plot>​
- ​{{{#​!gnuplot+
  set title "​Geometric Distribution PMF"  set title "​Geometric Distribution PMF"
- set size 0.7+ set size 1
  set yrange [0:0.9]  set yrange [0:0.9]
  set xrange [-0.5:15.5]  set xrange [-0.5:15.5]
줄 23: 줄 22:
   f(x+0.5,​0.5) title "​Geo(0.5)"​ with steps, \   f(x+0.5,​0.5) title "​Geo(0.5)"​ with steps, \
   f(x+0.5,​0.8) title "​Geo(0.8)"​ with steps   f(x+0.5,​0.8) title "​Geo(0.8)"​ with steps
-}}}+</​plot>​
 ===== 누적분포함수 ===== ===== 누적분포함수 =====
  $$ F(x) = 1 - (1-p)^{x+1} = 1 - q^{x+1} $$  $$ F(x) = 1 - (1-p)^{x+1} = 1 - q^{x+1} $$
  
- +<​plot>​
- ​{{{#​!gnuplot+
  set title "​Geometric Distribution CDF"  set title "​Geometric Distribution CDF"
- set size 0.7+ set size 1
  set yrange [0:1.1]  set yrange [0:1.1]
  set xrange [-0.5:15.5]  set xrange [-0.5:15.5]
줄 36: 줄 34:
  set ylabel "F(x)  set ylabel "F(x)
  set format y "​%.2f"​  set format y "​%.2f"​
- set key 13.5,0.2 
  
  ​f(x,​p) = 1-(1-p)**((int(x))+1)  ​f(x,​p) = 1-(1-p)**((int(x))+1)
줄 43: 줄 40:
   f(x+0.5,​0.5) title "​Geo(0.5)"​ with steps, \   f(x+0.5,​0.5) title "​Geo(0.5)"​ with steps, \
   f(x+0.5,​0.8) title "​Geo(0.8)"​ with steps   f(x+0.5,​0.8) title "​Geo(0.8)"​ with steps
-}}}+</​plot>​
 ===== 기대값 ===== ===== 기대값 =====
  ​$$E(X)=\frac{1-p}{p}$$  ​$$E(X)=\frac{1-p}{p}$$
줄 58: 줄 55:
 ===== 원적률 ===== ===== 원적률 =====
  $$ \mu'​_{1} = \frac{1-p}{p} $$  $$ \mu'​_{1} = \frac{1-p}{p} $$
- 
  
  $$ \mu'​_{2} = \frac{(2-p)(1-p)}{p^{2}} $$  $$ \mu'​_{2} = \frac{(2-p)(1-p)}{p^{2}} $$
- 
  
  $$ \mu'​_{3} = \frac{(1-p) \left[ 6+(p-6)p \right] }{p^{3}} $$  $$ \mu'​_{3} = \frac{(1-p) \left[ 6+(p-6)p \right] }{p^{3}} $$
- 
  
  $$ \mu'​_{4} = \frac{(2-p)(1-p) \left[ 12+(p-12)p \right] }{p^{4}} $$  $$ \mu'​_{4} = \frac{(2-p)(1-p) \left[ 12+(p-12)p \right] }{p^{4}} $$
  
 + $$ \mu'​_{k} = p \ \mathrm{Li}_{-k} (1-p) $$
  
- $$ \mu'​_{k} = p \ \operatorname{Li}_{ \ -k} (1-p) $$ +  * 단, $\mathrm{Li}_{n} (z)$는 ??​함수(Polylogarithm)이다.
- +
- +
- +
-  ​단,&​nbsp&​nbsp $$\operatorname{Li}_{n} (z)$$ 는 ??​함수(Polylogarithm)이다.+
 ===== 중심적률 ===== ===== 중심적률 =====
  $$ \mu_{2} = \frac{1-p}{p^{2}} $$  $$ \mu_{2} = \frac{1-p}{p^{2}} $$
- 
  
  $$ \mu_{3} = \frac{(p-1)(p-2)}{p^{3}} $$  $$ \mu_{3} = \frac{(p-1)(p-2)}{p^{3}} $$
- 
  
  $$ \mu_{4} = \frac{(p-1)(-p^{2} +9p -9}{p^{4}} $$  $$ \mu_{4} = \frac{(p-1)(-p^{2} +9p -9}{p^{4}} $$
- 
  
  $$ \mu_{k} = p \ \Phi \left( \ 1-p \ , \ -k \ , \ \frac{p-1}{p} \ \right) $$  $$ \mu_{k} = p \ \Phi \left( \ 1-p \ , \ -k \ , \ \frac{p-1}{p} \ \right) $$
  
- +  * 단, $\Phi ( \ z \ , \ s \ , \ a \ )$ 는 ??​함수(Lerch Transcendent)이다.
- +
-  ​단,&​nbsp&​nbsp $$\Phi ( \ z \ , \ s \ , \ a \ )$$ 는 ??​함수(Lerch Transcendent)이다.+
 ===== 특성 ===== ===== 특성 =====
- ​i. ​[[무기억성]]을 가진다.+  * [[무기억성]]을 가진다.