균일분포 (Uniform Distribution)

정의

$X \sim U(a , b)$

$x \in [ \ a \ , \ b \ ]$

$f(x) = \frac{1}{b-a}$

$F(x) = \frac{x - a}{b - a}$

$E(X) = \frac{a+b}{2}$

$Var(X) = \frac{(b-a)^{2}}{12}$

$\gamma_{1} = 0$

$\gamma_{2} = - \frac{6}{5}$

$\phi \ (t) = \frac{2}{(b - a) t} \sin \left[ \frac{1}{2} (b-a) t \right] e^{i(a+b)t/2}$

만약, $a=0 , b=1$ 일 경우 특성함수는 아래와 같다.

$\phi \ (t) = \frac{i - i \cos t + \sin t}{t}$

$M(t) = \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$

$\mu'_{1} = \frac{1}{2} (a+b)$

$\mu'_{2} = \frac{1}{3} (a^{2} + ab + b^{2})$

$\mu'_{3} = \frac{1}{4} (a+b)(a^{2} + b^{2})$

$\mu'_{4} = \frac{1}{5} (a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} + b^{4})$

$\mu'_{k} = \frac{b^{k+1} - a^{k+1}}{(k+1)(b-a)}$

$\mu_{1} = 0$

$\mu_{2} = \frac{1}{12} (b-a)^{2}$

$\mu_{3} = 0$

$\mu_{4} = \frac{1}{80} (b-a)^{4}$

$\mu_{k} = \frac{(a-b)^{k} + (b-a)^{k}}{2^{k+1} (k+1)}$

$X \sim U(0,\theta)$ 일 때,