목차

감마분포 (Gamma Distribution)

정의

표기

$\alpha$ : 모양 매개변수

$\beta$ : 크기 매개변수

$$ X \sim G(\alpha , \beta)$$

받침

$$ x \in [ \ 0 \ , \ \infty \ ) $$

확률밀도함수

$$ f(x) = \left[ \frac{1}{\Gamma(\alpha) \cdot \beta^\alpha} \right] \cdot x^{\alpha-1} \cdot e^{-x/\beta} $$

누적분포함수

$$ F(x) = P \left( \ \alpha \ , \ \frac{x}{\beta} \ \right) $$

단, $P \left( \ a \ , \ b \ \right)$는 정칙 감마함수이다.

기대값

$$ E(X) = \alpha \beta $$

최빈값

$$ Mo = (\alpha - 1) \beta $$

분산

$$ Var(X) = \alpha \beta^{2} $$

왜도

$$ \gamma_{1} = \frac{2}{\sqrt{\alpha}} $$

첨도

$$ \gamma_{2} = \frac{6}{\alpha} $$

특성함수

$$ \phi \ (t) = (1-\beta \cdot i \cdot t)^{-\alpha} $$

적률생성함수

$$ M(t) = (1-\beta \cdot t)^{-\alpha} $$

특징

  1. 재생성을 가진다.
    • $X_{i} \sim G(\alpha_{i},\beta)$이면 $\sum X_{i} \sim G(\sum \alpha_{i},\beta)$이 성립한다.

타 분포와의 관계