====== X Bar 관리도 ======
===== 정의 =====
===== 중심선 및 관리한계선 =====
 만약 [[공정]]의 [[평균]] <latex>\mu</latex>와 [[공정]]의 [[표준편차]] <latex> \sigma </latex> 를 알 경우 <latex> \overline{X} </latex> 관리도의 [[중심선]] 및 [[관리한계선]]은 아래와 같다.

  * <latex> UCL = \mu + 3 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \mu + A \cdot \sigma </latex>

  * <latex> CL = \mu </latex>

  * <latex> LCL = \mu - 3 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \mu - A \cdot \sigma </latex>


 단, [[관리도 계수]] $A = \frac{3}{\sqrt{n}}$이다. ([[관리도 계수표 (KS A 3201)]]참조)
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 만약 [[공정]]의 [[평균]] <latex>\mu</latex>와 [[공정]]의 [[표준편차]] <latex> \sigma </latex>를 모르는 경우에는 예비표본으로 부터 추정한 값을 이용하여 <latex>\overline{X}</latex> 관리도의 [[중심선]] 및 [[관리한계선]]을 아래와 같이 구한다.

 공정의 [[평균]] <latex> \mu </latex>의 [[추정치]]로 <latex>\overline{\overline{X}}</latex>를 이용

 공정의 [[표준편차]] <latex> \sigma </latex>의 [[추정치]]로 <latex>\overline{R} / d_{2}</latex>를 이용시

   * <latex> UCL = \overline{\overline{X}} + \frac{3}{\sqrt{n} \cdot d_{2}} \cdot \overline{R} = \overline{\overline{X}} + A_{2} \cdot \overline{R} </latex>

   * <latex> CL = \overline{\overline{X}} </latex>

   * <latex> LCL = \overline{\overline{X}} - \frac{3}{\sqrt{n} \cdot d_{2}} \cdot \overline{R} = \overline{\overline{X}} - A_{2} \cdot \overline{R} </latex>

 공정의 [[평균]] <latex>\mu</latex>의 [[추정치]]로 <latex>\overline{\overline{X}}</latex> 를 이용

 공정의 [[표준편차]] <latex>\sigma</latex>의 [[추정치]]로 <latex>\overline{s} / c_{4}</latex> 를 이용시

   * <latex>UCL = \overline{\overline{X}} + \frac{3}{\sqrt{n} \cdot c_{4}} \cdot \overline{s} = \overline{\overline{X}} + A_{3} \cdot \overline{s} </latex>

   * <latex>CL = \overline{\overline{X}} </latex>

   * <latex>LCL = \overline{\overline{X}} - \frac{3}{\sqrt{n} \cdot c_{4}} \cdot \overline{s} = \overline{\overline{X}} - A_{3} \cdot \overline{s} </latex>


 단, [[관리도 계수]] <latex>A_{2} = \frac{3}{\sqrt{n} \cdot d_{2}}</latex>, <latex> A_{3} = \frac{3}{\sqrt{n} \cdot c_{4}}</latex>이다. ([[관리도 계수표 (KS A 3201)]]참조)
===== 예제1 =====
 아래 표는 어떠한 기계부품을 제조하는 공정에서 5개의 [[부분군]]으로 이루어진 20개의 [[표본]]을 추출하여 만든 자료이다. 현재 이 자료를 바탕으로 <latex>\bar{X}-R</latex> [[관리도]]의 [[관리한계선]]을 구하려고 한다.

 (현재 기계부품 제조공정상의 실질적인 [[평균]]과 [[표준편차]]는 미지이다.)

^  [[부분군]] 번호  ^  측정치  ^^^^^  합계  ^  [[평균]]  ^  [[범위]]  ^ 
^:::  ^  <latex>x_{1}</latex>  ^  <latex>x_{2}</latex>  ^  <latex>x_{3}</latex>  ^  <latex>x_{4}</latex>  ^  <latex>x_{5}</latex>  ^  <latex>\Sigma x</latex>  ^  <latex>\overline{x}</latex>  ^  <latex>R</latex>  ^ 
^  1  |  57.73  |  57.77  |  57.98  |  57.21  |  57.82  |  288.51  |  57.702  |  0.77  | 
^  2  |  57.68  |  57.75  |  57.88  |  57.89  |  57.74  |  288.94  |  57.788  |  0.21  | 
^  3  |  57.62  |  57.65  |  57.72  |  57.75  |  57.71  |  288.45  |  57.690  |  0.13  | 
^  4  |  57.31  |  57.30  |  57.37  |  57.93  |  57.58  |  287.49  |  57.498  |  0.63  | 
^  5  |  57.58  |  57.71  |  57.21  |  57.63  |  57.37  |  287.50  |  57.500  |  0.50  | 
^  6  |  57.41  |  57.78  |  57.51  |  57.73  |  57.68  |  288.11  |  57.622  |  0.37  | 
^  7  |  57.29  |  57.52  |  57.99  |  57.63  |  57.42  |  287.85  |  57.570  |  0.70  | 
^  8  |  57.97  |  57.85  |  57.88  |  57.72  |  57.47  |  288.89  |  57.778  |  0.50  | 
^  9  |  57.64  |  57.51  |  57.56  |  57.60  |  57.72  |  288.03  |  57.606  |  0.21  | 
^  10  |  57.77  |  57.89  |  57.50  |  57.73  |  57.68  |  288.57  |  57.714  |  0.39  | 
^  11  |  57.61  |  57.57  |  57.39  |  57.49  |  57.48  |  287.54  |  57.508  |  0.22  | 
^  12  |  57.13  |  57.26  |  57.14  |  57.02  |  57.32  |  285.87  |  57.174  |  0.30  | 
^  13  |  57.41  |  57.53  |  57.69  |  57.68  |  57.62  |  287.93  |  57.586  |  0.28  | 
^  14  |  57.41  |  57.31  |  57.62  |  57.35  |  57.32  |  287.01  |  57.402  |  0.31  | 
^  15  |  57.48  |  57.83  |  57.66  |  57.87  |  57.70  |  288.54  |  57.708  |  0.39  | 
^  16  |  57.75  |  57.85  |  57.62  |  57.65  |  57.61  |  288.48  |  57.696  |  0.24  | 
^  17  |  57.70  |  57.78  |  57.73  |  57.81  |  57.75  |  288.77  |  57.754  |  0.11  | 
^  18  |  57.41  |  57.58  |  57.57  |  57.49  |  57.40  |  287.45  |  57.490  |  0.18  | 
^  19  |  57.88  |  57.51  |  57.75  |  57.67  |  57.64  |  288.45  |  57.690  |  0.37  | 
^  20  |  57.79  |  57.52  |  57.67  |  57.63  |  57.52  |  288.13  |  57.626  |  0.27  | 


 주어진 자료에서 [[공정]] [[평균]]에 대한 [[관리도]]의 [[중심선]] [[CL]]은 각 표본의 평균의 평균인 <latex>\overline{\overline{x}}</latex>이다.

  * <latex>CL = \overline{\overline{x}} = \frac{\sum_{i=1}^{20} \overline{x}_{i}}{20} = 57.6051</latex>

 그리고 현재 [[표본]]에 대한 전체 [[평균]] <latex>\overline{R}</latex> 은 아래와 같이 구할 수 있다.

  * <latex>\overline{R} = \frac{\sum_{i=1}^{20} R_{i}}{20} = 0.354</latex>


 위에서 구한 [[CL]]과 <latex>\overline{R}</latex>를 이용해 아래와 값이 관리한계선 [[UCL]]과 [[LCL]]을 구할 수 있다.

 ([[부분군]] 크기가 5일 경우 <latex>A_{2} = 0.577</latex> )

  * <latex>UCL=CL + A_{2} \overline{R} = 57.8169</latex>
  * <latex>LCL=CL - A_{2} \overline{R} = 57.3933</latex>

 {{:xbar-r_chart_example-01.png|}}

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  * [[관리도]]
  * [[관리도 계수]]
  * [[관리도 계수표 (KS A 3201)]]
{{tag>관리도}}