====== F분포 (F Distribution) ======
===== 정의 =====
 $U \sim \chi^{2}(\nu_{1})$, $V \sim \chi^{2}(\nu_{2})$이고 $U$와 $V$가 서로 [[독립]]이면 $F=\frac{(U/\nu_{1})}{(V/\nu_{2})}$는 [[자유도]]가 $(\nu_{1}, \ \nu_{2})$인 [[F분포]]를 따른다.
===== 표기 =====
 $$ X \sim F(\nu_{1}, \ \nu_{2}) $$

  * $\nu_{1}$은 분자의 [[자유도]]
  * $\nu_{2}$은 분모의 [[자유도]]
===== 받침 =====
 $$ x \in [ \ 0 \ , \ \infty \ ) $$

===== 확률밀도함수 =====
 $$ \begin{displaymath}\begin{split} f_{\nu_{1},\nu_{2}}(x) &= \frac{\Gamma \left[[ (\nu_{1} + \nu_{2})/2 \right]] \cdot \nu_{1}^{\nu_{1}/2} \cdot \nu_{2}^{\nu_{2}/2}}{\Gamma(\nu_{1}/2) \cdot \Gamma(\nu_{2}/2)} \frac{x^{n/2 - 1}}{(\nu_{2} + \nu_{1} x)^{(\nu_{1} + \nu_{2})/2}} \\ &= \frac{\nu_{1}^{\nu_{1} / 2} \cdot \nu_{2}^{\nu_{2} / 2} \cdot x^{n/2 - 1}}{(\nu_{2} + \nu_{1} x)^{(\nu_{1} + \nu_{2})/2} \cdot B(\frac{1}{2} \nu_{1},\frac{1}{2} \nu_{2})} \end{split}\end{displaymath} $$

 단, $\Gamma(x)$는 [[감마함수]], $B(x,y)$는 [[베타함수]]

<plot>
 set title "F Distribution PDF"
 set size 1.0
 set xrange [0:4]
 set yrange [0:0.8]
 set format x "%.1f"
 set format y "%.2f"
 set xlabel "x"
 set ylabel "f(x)"

 Binv(p,q)=exp(lgamma(p+q)-lgamma(p)-lgamma(q))
 f(x,df1,df2)=Binv(0.5*df1,0.5*df2)*(df1/df2)**(0.5*df1)*x**(0.5*df1-1.0)/(1.0+df1/df2*x)**(0.5*(df1+df2))

 plot f(x,3,3) title "F(3,3)", \
  f(x,7,4) title "F(7,4)", \
  f(x,9,6) title "F(9,6)"
</plot>
===== 누적분포함수 =====
 $$ \begin{displaymath}\begin{split} F_{\nu_{1},\nu_{2}} (x) &= I \left( \frac{\nu_{1} x}{\nu_{2} + \nu_{1} x} \ ; \ \frac{1}{2} \nu_{1} \ , \ \frac{1}{2} \nu_{2} \right) \\ &= 2 \nu_{1}^{(\nu_{1} - 2)/2} \cdot \left( \frac{x}{\nu_{2}} \right)^{\nu_{1} / 2} \cdot \frac{_{2}F_{1} \left( \frac{1}{2} (\nu_{1} + \nu_{2}) \ , \ \frac{1}{2} \nu_{1} \ ; \ 1 + \frac{1}{2} \nu_{1} \ ; \ - \nu_{1} x / \nu_{2}) \right) }{B(\frac{1}{2} \nu_{1},\frac{1}{2} \nu_{2})} \end{split}\end{displaymath} $$

 단, $I(x;a,b)$는 ??(FIXME)함수, $_{2}F_{1} (a,b;c;z)$는 [[초기하함수]]

<plot>
 set title "F Distribution CDF"
 set size 1.0
 set xrange [0:4]
 set yrange [0:1.1]
 set format x "%.1f"
 set format y "%.2f"
 set xlabel "x"
 set ylabel "F(x)"
 set key left

 cf(x,df1,df2)=1.0-ibeta(0.5*df2,0.5*df1,df2/(df2+df1*x))

 plot cf(x,3,3) title "F(3,3)", \
  cf(x,7,4) title "F(7,4)", \
  cf(x,9,6) title "F(9,6)"
</plot>
===== 기대값 =====
 $$ E(X) = \frac{\nu_{2}}{\nu_{2} - 2} $$
===== 분산 =====
 $$ Var(X) = \frac{2 \nu_{2}^{ \ 2} (\nu_{1} + \nu_{2} - 2)}{\nu_{1} (\nu_{2} - 2)^{2} (\nu_{2} - 4)} $$
===== 왜도 =====
 $$ \gamma_{1} = \frac{2(2 \nu_{1} + \nu_{2} - 2)}{\nu_{2} - 6} \sqrt{\frac{2(\nu_{2} - 4)}{\nu_{1} (\nu_{1} + \nu_{2} - 2)}} $$
===== 첨도 =====
 $$ \gamma_{2} = \frac{12(-16 + 20 \nu_{2} - 8 \nu_{2}^{ \ 2} + \nu_{2}^{ \ 3} + 44 \nu_{1} - 32 \nu_{1} \nu_{2} + 5 \nu_{1} \nu_{2}^{ \ 2} - 22 \nu_{1}^{ \ 2} + 5 \nu_{1}^{ \ 2} \nu_{2})}{\nu_{1} (\nu_{2} - 6)(\nu_{2} - 8)(\nu_{1} + \nu_{2} - 2)} $$
===== 특징 =====
  - $F_{\alpha} (\nu_{1}, \ \nu_{2}) = \frac{1}{F_{1-\alpha} (\nu_{2}, \ \nu_{1})} $인 관계가 성립한다.
  - $F = \frac{(S_{1}^{ \ 2} / \sigma_{1}^{ \ 2})}{(S_{2}^{ \ 2} / \sigma_{2}^{ \ 2})} \sim F(n_{1} - 1, \ n_{2} - 1) $인 관계가 성립한다.
===== 타 분포와의 관계 =====
  * [[t분포와 F분포 관계]]