====== 평균제곱의 기대값 ======
===== 정의 =====
===== 평균제곱의 기대값 구하는 방법 =====
 아래에는 $A$ [[모수인자]], $B$ [[변량인자]]인 [[반복]]이 있는 [[이원배치법]]에서 $E(V)$를 구하는 요령을 5단계로 나누어 설명되어 있고, 이 방법을 이용하면 쉽게 [[분산분석]]에서 [[평균제곱의 기대값]]을 구할 수 있다.

 1. 아래의 표와 값이 행에 순서대로 $A_{i}, \ B_{j}, \ A \times B_{ij}, \ E_{k(ij)}$을 써넣는다. 이것들은 데이터의 구조식에서 $\mu$항을 제외한 나머지 항들에 해당되는 것을 차례대로 적은 것이다. 여기서 [[인자]] $A, \ B, \ A \times B, \ E$의 밑에 첨자 $i, \ j, \ ij, \ k(ij)$를 각각 써넣었다. $k(ij)$의 의미는 $A_{i}$ [[수준]]과 $B_{j}$ [[수준]]이 정해진 후에 [[반복]]이 이루어지므로 이렇게 표시한 것이다.
 다음으로 열에는, 첫째 열에 순서대로 $A$ [[인자]]의 [[수준]]수 $(l)$, [[인자]]의 종류 ([[모수인자]]이면 $F$, [[변량인자]]이면 $R$)를 나타내고, 마지막으로 그 [[인자]]에 사용되는 첨자 $(i)$를 쓴다. 두번째 열에는 $B$ [[인자]]의 [[수준]]수 $(m)$, [[인자]]의 종류, 첨자 $(j)$를 쓴다. 세번째 열에는 [[반복]]에 대한 것으로 [[변량인자]] $(R)$로 간주하여 기록한다.

|   |  $$l$$  |  $$m$$  |  $$r$$  | 
|   |  $$F$$  |  $$R$$  |  $$R$$  | 
|   |  $$i$$  |  $$j$$  |  $$k$$  | 
|  |  |  |   | 
|  $$A_{i}$$  |   |   |   | 
|  $$B_{j}$$  |   |   |   | 
|  $$A \times B_{ij}$$  |   |   |   | 
|  $$E_{k(ij)}$$  |   |   |   | 

 2. 각 행에 대하여 같은 첨자가 있는 곳을 제외하고 나머지 장소에 [[수준]]수(또는 [[반복]]수)를 기입한다.

|   |  $$l$$  |  $$m$$  |  $$r$$  | 
|   |  $$F$$  |  $$R$$  |  $$R$$  | 
|   |  $$i$$  |  $$j$$  |  $$k$$  | 
|  |  |  |   | 
|  $$A_{i}$$  |   |  $$m$$  |  $$r$$  | 
|  $$B_{j}$$  |  $$l$$  |   |  $$r$$  | 
|  $$A \times B_{ij}$$  |   |   |  $$r$$  | 
|  $$E_{k(ij)}$$  |   |   |   | 

 3. 행에 있는 첨자 중에서 괄호속에 들어 있는 것이 있으면 그 첨자와 같은 열의 첨자를 찾아 만나는 곳에 1이라고 적는다.

|   |  $$l$$  |  $$m$$  |  $$r$$  | 
|   |  $$F$$  |  $$R$$  |  $$R$$  | 
|   |  $$i$$  |  $$j$$  |  $$k$$  | 
|  |  |  |   | 
|  $$A_{i}$$  |   |  $$m$$  |  $$r$$  | 
|  $$B_{j}$$  |  $$l$$  |   |  $$r$$  | 
|  $$A \times B_{ij}$$  |   |   |  $$r$$  | 
|  $$E_{k(ij)}$$  |  $$1$$  |  $$1$$  |   | 

 4. 빈 곳을 찾아서 열별로 $F$이면 $0$을, $R$이면 $1$을 기입한다.

|   |  $$l$$  |  $$m$$  |  $$r$$  | 
|   |  $$F$$  |  $$R$$  |  $$R$$  | 
|   |  $$i$$  |  $$j$$  |  $$k$$  | 
|  |  |  |   | 
|  $$A_{i}$$  |  $$0$$  |  $$m$$  |  $$r$$  | 
|  $$B_{j}$$  |  $$l$$  |  $$1$$  |  $$r$$  | 
|  $$A \times B_{ij}$$  |  $$0$$  |  $$1$$  |  $$r$$  | 
|  $$E_{k(ij)}$$  |  $$1$$  |  $$1$$  |  $$1$$  | 


 5. 마지막으로 $E(V)$를 구하게 된다. 먼저 $A_{i}$ 행의 $E(V_{A})$를 구하려면 열에서 첨자 $i$가 있는 열을 가리고, 각 행별로 적혀진 숫자를 곱한다. 그러면 $mr, \ r, \ r, \ 1$을 얻게 된다. 여기서 첨자 $i$가 있는 행만을 골라내면 $A_{i}, \ A \times B_{ij}, \ E_{k(ij)}$로서 행별로 곱한 숫자는 각각 $mr, \ r, \ 1$이다. $E(V_{A})$는 $i$가 있는 행의 [[분산]] $\sigma_{A}^{ \ 2}, \ \sigma_{A \times B}^{ \ 2}, \ \sigma_{E}^{ \ 2}$을 차례로 $mr, \ r, \ 1$과 곱하여 합한 것이 된다. 즉 $E(V_{A})=\sigma_{E}^{ \ 2} + r \sigma_{A \times B}^{ \ 2} + mr \sigma_{A}^{ \ 2}$이다.
 같은 요령으로 $B_{j}$ 행의 $E(V_{B})$를 구하려면 $j$가 있는 두번째 열을 가리고 행별로 숫자를 곱하면 $o, \ lr, \ 0, \ 1$이 된다. $j$가  없는 첫번째 행을 생각하지 말고, 2, 3, 4행의 [[분산]] $\sigma_{B}^{ \ 2}, \ \sigma_{A \times B}^{ \ 2}, \ \sigma_{E}^{ \ 2}$을 차례로 $lr, \ 0, \ 1$과 곱하여 합치면 $E(V_{B})=\sigma_{E}^{ \ 2} + lr \sigma_{B}^{ \ 2}$이 된다.
 다음으로 $A \times B_{ij}$ 행의 $E(V_{A \times B})$를 구하려면 $i$, 또는 $j$가 있는 1,2 열을 가리고 보면 $r, \ r, \ r, \ 1$이 남는다. $i$와 $j$가 동시에 들어 있는 행은 3, 4번째의 행뿐이므로 $E(V_{A \times B}) = \sigam_{E}^{ \ 2} + r \sigma_{A \times B}^{ \ 2}$을 얻을 수 있다. 같은 방법으로 $E(V_{E})$도 구할 수 있는데 이행의 [[기대값]]은 언제나 $E(V_{E})= \sigam_{E}^{ \ 2}$가 된다. 이상의 결과를 정리하면 아래와 같다.

|   |  $$l$$  |  $$m$$  |  $$r$$  | <|3> $$E(V)$$  | 
|   |  $$F$$  |  $$R$$  |  $$R$$  | 
|   |  $$i$$  |  $$j$$  |  $$k$$  | 
|  |  |  |  |   | 
|  $$A_{i}$$  |  $$0$$  |  $$m$$  |  $$r$$  |  $$\sigma_{E}^{ \ 2} + r \sigma_{A \times B}^{ \ 2} + mr \sigma_{A}^{ \ 2}$$  | 
|  $$B_{j}$$  |  $$l$$  |  $$1$$  |  $$r$$  |  $$\sigma_{E}^{ \ 2} + lr \sigma_{B}^{ \ 2}$$  | 
|  $$A \times B_{ij}$$  |  $$0$$  |  $$1$$  |  $$r$$  |  $$\sigma_{E}^{ \ 2} + r \sigma_{A \times B}^{ \ 2}$$  | 
|  $$E_{k(ij)}$$  |  $$1$$  |  $$1$$  |  $$1$$  |  $$\sigma_{E}^{ \ 2}$$  | 

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  * [[평균제곱]]
  * [[기대값]]