====== 적률생성함수 (Moment Generating Function) ======
===== 정의 =====
 [[적률생성함수]]는 [[적률]]을 생성해주는 [[함수]]로서 [[확률밀도함수]]([[확률함수]])가 주어졌을 때 그에 대한 $e^{tx}$의 [[기대값]]으로 정의된다.

 $$ M(t)=E(e^{tx}) $$

 [[적률생성함수]]를 이용하여 $X$의 $k$차 [[원적률]]을 아래와 같이 구할 수 있다.

 $$ \mu_{k}' = \left[ \frac{d^{(k)} M(t)}{dt^{k}} \right]_{t=0} $$

 즉, [[적률생성함수]] $M(t)$를 한번 [[미분]]하여 $t$에 $0$을 대입하면 $\mu_{1}' = E(X)$를 구할 수 있고, $M(t)$를 두번 미분하여 $t$에 $0$을 대입하면 $\mu_{2}' = E(X^{2})$를 구할 수 있다. 

 만약 $M(t)$를 $k$번 미분하여 $t$에 $0$을 대입하면 $\mu_{k}' = E(X^{k})$를 구할 수 있다.
===== 유용한 식 =====
 [[확률변수]] $X$의 [[적률생성함수]]가 $M(t)$일 때, [[확률변수]] $aX + b$의 [[적률생성함수]]는 아래와 같다. ($a, b$는 [[상수]])

 $$ M_{aX+b} (t) = e^{tx} \cdot M(at) $$

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  * [[함수]]
  * [[적률]]
  * [[원적률]]