====== 자연수 (Natural Number) ======
 [[수학]]에서 [[자연수]]는 양의 [[정수]] (1, 2, 3, ...), 또는 음이 아닌 [[정수]] (0, 1, 2, 3, ...)를 지칭한다. 전자는 [[수론]]에서, 후자는 [[집합론]]에서 보통 사용된다.
===== 정의 =====
 역사적으로 [[자연수]]의 엄밀한 수학적 정의는 여러 어려움을 겪으면서 만들어졌다. [[페아노의 공리]]는 어떤 엄밀한 정의라도 반드시 만족해야 할 조건들을 제시하고, [[집합론]]의 경우 특정한 구성(construction)을 사용해서 [[페아노의 공리]]를 만족하는 모델이 존재한다는 것을 보일 수 있다.

 페아노의 공리

  - 0은 [[자연수]]이다.
  - 모든 자연수 ''a''에 대해서 그 다음 수 ''S''(''a'')가 존재한다.
  - 다음 수가 0인 자연수는 존재하지 않는다.
  - 서로 다른 자연수 ''a''와''b''에 대해서, 그 다음 수 ''S''(''a'')와 ''S''(''b'') 또한 서로 다르다.
  - 0이 어떤 성질을 만족하고, 임의의 자연수 ''k''가 그 성질을 만족할 때 그 다음 수 ''S''(''k'') 또한 그 성질을 만족하면, 이 성질은 어떤 자연수에 대해서도 만족된다. (이는 [[수학적 귀납법]]이 올바르다는 것을 보장해 준다.)

 여기서 정의에 사용된 "0"는 일반적으로 사용하는 숫자 0에 대응할 필요가 없으며, 공리를 만족하는 어떤 것이라도 될 수 있다. 이 공리를 만족하는 체계는 0 또는 1로 시작하는 자연수 이외에도 많이 존재한다.
===== 표기법 =====
 수학자들은 N 또는 $\mathbb{N}$ 을 모든 [[자연수]]의 [[집합]]을 나타내는 데 사용한다. 이 [[집합]]은 정의에 따라서 [[무한 집합]]이지만 [[가산 집합]]이다.

 집합에 0이 포함되었는지 아닌지를 분명히 하기 위해서 첨자 "0"이나 "*"를 붙이기도 한다. 즉,


  * $\mathbb{N}_{0} = \{ 0, 1, 2, 3, \cdots \}$

  * $\mathbb{N}_{*} = \{ 1, 2, 3, \cdots \}$


 (종종 첨자 "+"가 "양수"를 강조하기 위해 사용되기도 한다. 하지만 자연수가 아닌 다른 경우, 이 첨자는 "음수가 아닌" 것을 강조하기 위해서 많이 사용된다. 예를 들어 $\mathbb{R}_{+} = [0, \infty )$ , $\mathbb{Z}_{+} = \{ 0, 1, 2, \cdots \}$ 이다. 첨자 "*"는 0이 아니거나, [[역원]]이 존재하는 [[원소]]들의 [[집합]]을 나타내는 데 일반적으로 사용된다.)

 어떤 경우에는 W 또는 $\mathbb{W}$ 가 "범자연수"(whole number)의 [[집합]]을 나타내는 데 사용되기도 하는데, 여기서 [[범자연수]]는 종종 여기서 설명하는 [[자연수]]를 가리키기도 하고, [[정수]]를 가리키기도 한다.

 집합론자들은 종종 모든 [[자연수]]의 [[집합]]을 ω로 표기하기도 하며, 이 경우 0은 명시적으로 [[자연수]]에 포함된다.