====== 일원배치법 (모수모형) (반복수 균일) ======
===== 데이터 구조 =====
 [[요인]] $A$ 는 [[모수인자]]

  * $y_{ij} = \mu + a_{i} + e_{ij}$
    * $i$  : [[인자]] $A$의 [[수준]] $( i = 1,2, \cdots ,l )$
    * $j$  : 실험의 [[반복]] $( j = 1,2, \cdots ,r )$

 단, $e_{ij} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$이고 서로 [[독립]]
===== 가설 =====
 [[인자]] $A$ 의 각 수준에서 [[특성치]]의 차이가 유의한가?

  * [[귀무가설]] : $H_{0} : a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{l} = 0$
  * [[대립가설]] : $H_{1} : a_{i} \neq 0$

 또한, [[모수모형]]은 $\sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} = \sum_{i=1}^{l} \frac{a_{i}^{ \ \ 2}}{l-1}$이므로

  * [[귀무가설]] : $H_{0} : \sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} = 0$
  * [[대립가설]] : $H_{1} : \sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} > 0$

 로 표현 가능하다.
===== 자료의 구조 =====
^ ^  **[[인자]]의 수준**  ^^^^^  **합계**  ^
^::: ^  $$A_{1}$$  ^  $$A_{2}$$  ^  $$A_{3}$$  ^  $$\cdots$$  ^  $$A_{l}$$  ^::: ^
|  **실험의 반복**  |  $$y_{11}$$  |  $$y_{21}$$  |  $$y_{31}$$  |  $$\cdots$$  |  $$y_{l1}$$  | |
|::: |  $$y_{12}$$  |  $$y_{22}$$  |  $$y_{32}$$  |  $$\cdots$$  |  $$y_{l2}$$  |::: |
|::: |  $$\vdots$$  |  $$\vdots$$  |  $$\vdots$$  |  | $$\vdots$$  |::: |
|::: |  $$y_{1r}$$  |  $$y_{2r}$$  |  $$y_{3r}$$  |  $$\cdots$$  |  $$y_{lr}$$  |::: |
|  **합계**  |  $$T_{1.}$$  |  $$T_{2.}$$  |  $$T_{3.}$$  |  $$\cdots$$  |  $$T_{l.}$$  |  $$T$$  |
|  **[[평균]]**  |  $$\overline{y}_{1.}$$  |  $$\overline{y}_{2.}$$  |  $$\overline{y}_{3.}$$  |  $$\cdots$$  |  $$\overline{y}_{l.}$$  |  $$\overline{\overline{y}}$$  |

| $$T_{i.} = \sum_{j=1}^{r} y_{ij}$$ | $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{r}$$ |
| $$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} y_{ij}$$ | $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lr} = \frac{T}{N}$$ |
| $$N = lr$$ | $$CT = \frac{T^{2}}{lr} = \frac{T^{2}}{N}$$ |
===== 제곱합 =====
 개개의 데이터 $y_{ij}$와 총 [[평균]] $\overline{\overline{y}}$의 차이는 다음과 같이 두 부분으로 나뉘어진다.

  * $$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$

 양변을 제곱한 후에 모든 $i$와 $j$에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.

  * $$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r}(y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$

 위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $S_{T}$이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$의 [[변동]], [[오차변동]]인 $S_{A}$, $S_{E}$가 된다.

 $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{T}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} y_{ij}^{2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$

 $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{A}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= r \cdot \sum_{i=1}^{l} \overline{y}_{i.}^{2} -CT \\ &= \sum_{i=1}^{l} \frac{T_{i.}^{2}}{r} - CT \end{split}\end{displaymath}$$

 $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{E}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} (y_{ij} - \overline{y}_{i.})^{2} \\ &= S_{_{T}}-S_{_{A}} \end{split}\end{displaymath}$$

 단, $CT$는 $CT = \frac{T^{2}}{lr}=\frac{T^{2}}{N}$으로 [[수정항]]이라 부른다.
===== 자유도 =====
 $$\nu_{_{A}} = l - 1$$


 $$\nu_{_{E}} = l(r-1)$$


 $$\nu_{_{T}} = lr - 1 = N-1$$

===== 평균제곱 =====
 $$V_{_{A}} = \frac{S_{_{A}}}{\nu_{_{A}}}$$


 $$V_{_{E}} = \frac{S_{_{E}}}{\nu_{_{E}}}$$

===== 평균제곱의 기대값 =====
 $$E(V_{A}) = \sigma_{E}^{ \ \ 2} + r \sigma_{A}^{ \ \ 2}$$


 $$E(V_{E}) = \sigma_{E}^{ \ \ 2}$$

===== 분산분석표 =====
^  **[[요인]]**  ^  **[[제곱합]]** $$SS$$  ^  **[[자유도]]** $$DF$$  ^  **[[평균제곱]]** $$MS$$  ^  $$E(MS)$$  ^  $$F_{0}$$  ^  **기각치**  ^  **[[순변동]]** $$ S\acute{} $$  ^  **[[기여율]]** $$\rho$$  ^
| $$A$$ | $$S_{_{A}}$$ | $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ | $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + r \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ | $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ | $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ | $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ | $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ |
| $$E$$ | $$S_{_{E}}$$ | $$\nu_{_{E}} = l(r - 1)$$ | $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ |  |  | $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{}$$ | $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$ |
| |||||||||
| $$T$$ | $$S_{_{T}}$$ | $$\nu_{_{T}} = lr - 1$$ | | | | | $$S_{_{T}}$$ | $$1$$ |

===== 분산분석 =====
 $$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$

 기각역 : $F_{0} > F(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}} \ ; \ \alpha)$
===== 각 수준의 모평균의 추정 =====
 $\mu_{i}$의 $100(1-\alpha) \% $ [[신뢰구간]]은 아래와 같다.

  * $$\mu_{i} = \left( \ \overline{y}_{i.} - t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{_{E}}}{r}} \ , \ \overline{y}_{i.} + t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{_{E}}}{r}} \ \right)$$
===== 각 수준의 모평균차의 추정 =====
 $\mu_{i} - \mu_{j}$의 $100(1-\alpha) \% $ [[신뢰구간]]은 아래와 같다.

  * $$\mu_{i} - \mu_{j} = \left( \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) - t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{_{E}}}{r}} \ , \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) + t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{_{E}}}{r}} \ \right) $$
===== 각 수준의 모평균차의 검정 =====
 두 [[수준]] $i,j$간의 [[표본평균]]의 차 $$ | \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.} | $$ 를 구하여 이 값이 [[최소유의차]]([[LSD]])보다 크면 두 [[수준]]간에 차이가 유의하고 반대로 작으면 두 [[수준]]간의 차이는 유의하지 않다고 결론내릴 수 있다.

 [[최소유의차]] [[LSD]]는 아래와 같다.

  * $$\mathrm{LSD} = t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{_{E}}}{r}}$$
===== 오차분산의 추정 =====
 $\sigma_{_{E}}^{ \ \ 2}$의 $100(1-\alpha) \% $ [[신뢰구간]]은 아래와 같다.

 $$\sigma_{_{E}}^{ \ \ 2} = \left( \frac{S_{_{E}}}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}} ( \nu_{_{E}}) } \ , \ \frac{S_{_{E}}}{\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}} ( \nu_{_{E}}) } \right)$$
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  * [[실험계획법]]
  * [[일원배치법]]