====== 음이항분포 (Negative Binomial Distribution) ======
===== 정의 =====

  * 여기서는 [[확률변수]] $X$를 Fail의 횟수로 정의한다.
===== 표기 =====
 $$ X \sim NB(r , p)$$

  * $$ r \in \{ \ 1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ \} $$
  * $$ p \in [ \ 0 \ , \ 1 \ ] $$
===== 받침 =====
 $$ x \in \{ \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \} $$
===== 확률질량함수 =====
 $$p(x)=\begin{pmatrix}x+r-1\\r-1\end{pmatrix}p^{r}(1-p)^{x}$$

<plot>
 set title "Negative Binomial Distribution PMF"
 set size 1.0
 set yrange [0:0.6]
 set xrange [-0.5:15.5]
 set format y "%.2f"
 set xlabel "x"
 set ylabel "p(x)"

 f(x,r,p) = ((int(x)+r-1)!)/(((r-1)!)*((int(x))!))*(p**r)*((1-p)**(int(x)))

 plot f(x+0.5,3,0.2) title "NB(3,0.2)" with steps, \
  f(x+0.5,3,0.5) title "NB(3,0.5)" with steps, \
  f(x+0.5,3,0.8) title "NB(3,0.8)" with steps
</plot>
===== 누적분포함수 =====
 $$ F(x) = I_{p} ( \ r \ , \ x+1 \ ) $$
===== 기대값 =====
 $$E(X)=\frac{r(1-p)}{p}$$
===== 분산 =====
 $$Var(X)=\frac{r(1-p)}{p^{2}}$$
===== 왜도 =====
===== 첨도 =====
===== 특성함수 =====
===== 적률생성함수 =====
 $$M(t)=\left[ \frac{p}{1-(1-p)e^{t}} \right]^{r}$$
===== 원적률 =====
===== 중심적률 =====
===== 특징 =====
  * [[재생성]]을 가진다.
    * $X_{i} \sim NB(r_{i},p)$이면 $\sum X_{i} \sim NB(\sum r_{i} , p)$이 성립한다.
  * [[이항분포]]는 $n$이 고정된 상태에서 $x$가 변하는 분포 이지만 [[음이항분포]]는 $r-1$이 고정된다. 그래서 [[이항분포]]와 반대라는 의미로 [[음이항분포]]로 불린다.
  * [[기하분포]]가 $r$번 반복 되는 경우 [[음이항분포]]를 따른다.

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  * [[분포]]