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기하_분포 [2017/08/07 16:19]
moonrepeat 		기하_분포 [2021/03/10 21:42] (현재)
줄 1: 줄 1:
 ====== 기하분포 (Geometric Distribution) ====== ====== 기하분포 (Geometric Distribution) ======
 ===== 표기 ===== ===== 표기 =====
- X∼Geo(p) +  * X∼Geo(p) 
- +    ​* ​p∈[ 0 , 1 ]
- +
-   p∈[ 0 , 1 ]+
 ===== 받침 ===== ===== 받침 =====
  x∈{ 0 , 1 , 2 , ⋯ }  x∈{ 0 , 1 , 2 , ⋯ }
줄 10: 줄 8:
  p(x)=p (1−p)x=p qx  p(x)=p (1−p)x=p qx
  
- +<​plot>​
- ​{{{#​!gnuplot+
  set title "​Geometric Distribution PMF"  set title "​Geometric Distribution PMF"
- set size 0.7+ set size 1
  set yrange [0:0.9]  set yrange [0:0.9]
  set xrange [-0.5:15.5]  set xrange [-0.5:15.5]
줄 25: 줄 22:
   f(x+0.5,​0.5) title "​Geo(0.5)"​ with steps, \   f(x+0.5,​0.5) title "​Geo(0.5)"​ with steps, \
   f(x+0.5,​0.8) title "​Geo(0.8)"​ with steps   f(x+0.5,​0.8) title "​Geo(0.8)"​ with steps
-}}}+</​plot>​
 ===== 누적분포함수 ===== ===== 누적분포함수 =====
  F(x)=1−(1−p)x+1=1−qx+1  F(x)=1−(1−p)x+1=1−qx+1
  
- +<​plot>​
- ​{{{#​!gnuplot+
  set title "​Geometric Distribution CDF"  set title "​Geometric Distribution CDF"
- set size 0.7+ set size 1
  set yrange [0:1.1]  set yrange [0:1.1]
  set xrange [-0.5:15.5]  set xrange [-0.5:15.5]
줄 38: 줄 34:
  set ylabel "F(x)  set ylabel "F(x)
  set format y "​%.2f"​  set format y "​%.2f"​
- set key 13.5,0.2 
  
  ​f(x,​p) = 1-(1-p)**((int(x))+1)  ​f(x,​p) = 1-(1-p)**((int(x))+1)
줄 45: 줄 40:
   f(x+0.5,​0.5) title "​Geo(0.5)"​ with steps, \   f(x+0.5,​0.5) title "​Geo(0.5)"​ with steps, \
   f(x+0.5,​0.8) title "​Geo(0.8)"​ with steps   f(x+0.5,​0.8) title "​Geo(0.8)"​ with steps
-}}}+</​plot>​
 ===== 기대값 ===== ===== 기대값 =====
  ​E(X)=1−pp  ​E(X)=1−pp
줄 60: 줄 55:
 ===== 원적률 ===== ===== 원적률 =====
   \mu'​_{1} = \frac{1-p}{p}    \mu'​_{1} = \frac{1-p}{p}
- 
  
   \mu'​_{2} = \frac{(2-p)(1-p)}{p^{2}}    \mu'​_{2} = \frac{(2-p)(1-p)}{p^{2}}
- 
  
   \mu'​_{3} = \frac{(1-p) \left[ 6+(p-6)p \right] }{p^{3}}    \mu'​_{3} = \frac{(1-p) \left[ 6+(p-6)p \right] }{p^{3}}
- 
  
   \mu'​_{4} = \frac{(2-p)(1-p) \left[ 12+(p-12)p \right] }{p^{4}}    \mu'​_{4} = \frac{(2-p)(1-p) \left[ 12+(p-12)p \right] }{p^{4}}
  
 +  \mu'​_{k} = p \ \mathrm{Li}_{-k} (1-p)
  
-  \mu'​_{k} = p \ \operatorname{Li}_{ \ -k} (1-p)  +  * 단, $\mathrm{Li}_{n} (z)$는 ??​함수(Polylogarithm)이다.
- +
- +
- +
-  ​단,&​nbsp&​nbsp $$\operatorname{Li}_{n} (z)$$ 는 ??​함수(Polylogarithm)이다.+
 ===== 중심적률 ===== ===== 중심적률 =====
   \mu_{2} = \frac{1-p}{p^{2}}    \mu_{2} = \frac{1-p}{p^{2}}
- 
  
   \mu_{3} = \frac{(p-1)(p-2)}{p^{3}}    \mu_{3} = \frac{(p-1)(p-2)}{p^{3}}
- 
  
   \mu_{4} = \frac{(p-1)(-p^{2} +9p -9}{p^{4}}    \mu_{4} = \frac{(p-1)(-p^{2} +9p -9}{p^{4}}
- 
  
   \mu_{k} = p \ \Phi \left( \ 1-p \ , \ -k \ , \ \frac{p-1}{p} \ \right)    \mu_{k} = p \ \Phi \left( \ 1-p \ , \ -k \ , \ \frac{p-1}{p} \ \right)
  
- +  * 단, \Phi ( \ z \ , \ s \ , \ a \ ) 는 ??​함수(Lerch Transcendent)이다.
- +
-  ​단,&​nbsp&​nbsp $$\Phi ( \ z \ , \ s \ , \ a \ )$$ 는 ??​함수(Lerch Transcendent)이다.+
 ===== 특성 ===== ===== 특성 =====
- ​i. ​[[무기억성]]을 가진다.+  * [[무기억성]]을 가진다.