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t분포 [2012/07/04 21:18] moonrepeat 새로 만듦 |
t분포 [2021/03/10 21:42] |
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|---|---|---|---|
| 줄 1: | 줄 1: | ||
| - | ====== t분포 (t Distribution) ====== | ||
| - | ===== 정의 ===== | ||
| - | 두 [[확률변수]] $Z$와 $W$가 서로 [[독립]]이고 $Z$는 [[표준정규분포]]를 $W$는 [[자유도]]가 $\nu$인 [[카이스퀘어분포]]를 따를 경우, [[확률변수]] | ||
| - | * $$X = \frac{Z}{\sqrt{W / \nu}}$$ | ||
| - | |||
| - | 는 [[자유도]]가 $\nu$인 [[t분포]]를 따른다. | ||
| - | ===== 표기 ===== | ||
| - | $$ X \sim t(\nu) $$ | ||
| - | ---- | ||
| - | ===== 받침 ===== | ||
| - | $$ x \in ( \ - \infty \ , \ \infty \ ) $$ | ||
| - | ===== 확률밀도함수 ===== | ||
| - | $$ f(x) = \frac{\left( \frac{\nu}{\nu + x^{2}} \right)^{(1 + \nu)/2}}{\sqrt{\nu} \cdot B \left( \frac{1}{2} \nu , \frac{1}{2} \right) } $$ | ||
| - | |||
| - | * 단, $B(\alpha,\beta)$는 [[베타함수]]이다. | ||
| - | |||
| - | <plot> | ||
| - | set title "t Distribution PDF" | ||
| - | set size 1.0 | ||
| - | set xrange [-5:5] | ||
| - | set yrange [0:0.5] | ||
| - | set format x "%.1f" | ||
| - | set format y "%.2f" | ||
| - | set xlabel "x" | ||
| - | set ylabel "f(x)" | ||
| - | |||
| - | f(x,v) = ((v/(v+x**2))**((1+v)/2))/(sqrt(v)*((gamma(v/2)*gamma(0.5))/(gamma(v/2+0.5)))) | ||
| - | |||
| - | plot f(x,2) title "t(2)", \ | ||
| - | f(x,5) title "t(5)", \ | ||
| - | f(x,10) title "t(10)" | ||
| - | </plot> | ||
| - | ===== 누적분포함수 ===== | ||
| - | $$ F(x) = \frac{1}{2} + \frac{x \Gamma \left( \frac{1}{2} (\nu + 1) \right) \ _{2}F_{1} \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} (\nu + 1) ; \frac{3}{2} ; -\frac{x^{2}}{\nu} \right)}{\sqrt{\pi \nu} \cdot \Gamma \left( \frac{1}{2} \nu \right) } $$ | ||
| - | |||
| - | <plot> | ||
| - | set title "t Distribution CDF" | ||
| - | set size 1.0 | ||
| - | set xrange [-5:5] | ||
| - | set yrange [0:1.1] | ||
| - | set format x "%.1f" | ||
| - | set format y "%.2f" | ||
| - | set xlabel "x" | ||
| - | set ylabel "F(x)" | ||
| - | set key left | ||
| - | |||
| - | ct(x,df1)=(x<0.0)?0.5*ibeta(0.5*df1,0.5,df1/(df1+x*x)):1.0-0.5*ibeta(0.5*df1,0.5,df1/(df1+x*x)) | ||
| - | |||
| - | plot ct(x,2) title "t(2)", \ | ||
| - | ct(x,5) title "t(5)", \ | ||
| - | ct(x,10) title "t(10)" | ||
| - | </plot> | ||
| - | ===== 기대값 ===== | ||
| - | $$ E(X) = 0 $$ | ||
| - | ===== 분산 ===== | ||
| - | $$ Var(X) = \frac{\nu}{\nu - 2} $$ | ||
| - | ===== 왜도 ===== | ||
| - | $$ \gamma_{1} = 0 $$ | ||
| - | ===== 첨도 ===== | ||
| - | $$ \gamma_{2} = \frac{6}{\nu - 4} $$ | ||
| - | ===== 특징 ===== | ||
| - | ===== 타 분포와의 관계 ===== | ||
| - | * [[정규분포와 t분포 관계]] | ||
| - | |||
| - | * [[t분포와 F분포 관계]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | * [[분포]] | ||
| - | * [[t분포표]] | ||