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표준정규분포 [2012/07/17 21:13]
moonrepeat 새로 만듦 		표준정규분포 [2021/03/10 21:42]
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-====== 표준정규분포 (Standard Normal Distribution) ====== 
-===== 정의 ===== 
- ​[[표준정규분포]]는 [[정규분포]]에서 [[평균]] ​ $\mu = 0$이고, [[분산]] $\sigma^2 = 1$인 [[분포]]를 말한다. 
-===== 표기 ===== 
- ​[[확률변수]] $X$가 [[평균]] $\mu = 0$, [[분산]] $\sigma^{2} = 1$을 갖는 [[표준정규분포]]라 한다면 아래와 같이 표기 한다. 
- 
- $$ X \sim N(0 , 1)$$ 
-===== 받침 ===== 
- $$ x \in ( \ - \infty \ , \ \infty \ ) $$ 
-===== 확률밀도함수 ===== 
- $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}} $$ 
- 
-<​plot>​ 
- set title "​Standard Normal Distribution PDF" 
- set size 1.0 
- set xrange [-5:5] 
- set yrange [0:0.5] 
- set format x "​%.1f"​ 
- set format y "​%.2f"​ 
- set xlabel "​x"​ 
- set ylabel "​f(x)"​ 
- 
- ​f(x,​y,​z) = (1/​(sqrt(2*pi)*sqrt(z)))*exp(-((x-y)**2)/​(2*z)) 
- 
- plot f(x,0,1) title "​N(0,​1)"​ 
-</​plot>​ 
-===== 누적분포함수 ===== 
- $$ F(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right] $$ 
- 
- 단, $\mathrm{erf}(x)$는 [[오차함수]]) 
- 
-<​plot>​ 
- set title "​Standard Normal Distribution CDF" 
- set size 1.0 
- set xrange [-5:5] 
- set yrange [0:1.1] 
- set format x "​%.1f"​ 
- set format y "​%.2f"​ 
- set xlabel "​x"​ 
- set ylabel "​F(x)"​ 
- 
- ​f(x,​y,​z) = norm((x-y)/​sqrt(z)) 
- 
- plot f(x,0,1) title "​N(0,​1)"​ 
-</​plot>​ 
-===== 기대값 ===== 
- ​$$E(X) = 0$$ 
-===== 중앙값 ===== 
- $$ Mdn = 0 $$ 
-===== 최빈값 ===== 
- $$ Mo = 0 $$ 
-===== 분산 ===== 
- ​$$Var(X) = 1$$ 
-===== 왜도 ===== 
- $$ \gamma_{1} = 0 $$ 
-===== 첨도 ===== 
- $$ \gamma_{2} = 0 $$ 
-===== 타 분포와의 관계 ===== 
-  * [[정규분포와 카이스퀘어분포 관계]] 
-  * [[정규분포와 t분포 관계]] 
-===== 참고사항 ===== 
- ​[[표준정규분포]]에서 $Z_{\alpha}$는 아래와 같이 정의 된다. 
- 
-  * $$ \alpha = 1 - F(Z_{\alpha}) $$ 
-  * $$ \alpha = \int^{\infty}_{Z_{\alpha}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \ dx $$ 
- 
-{{:​통계:​normal_distribution_zalpha.png|}} 
- 
----- 
- ​[[표준정규분포]]에서 $\Phi (a)$는 아래와 같이 정의 된다. 
- 
-  * $$ \Phi (z) = F(z) $$ 
-  * $$ \Phi (z) = \int^{z}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \ dx $$ 
- 
-{{:​통계:​normal_distribution_phiz.png|}} 
- 
- 단, $F(x)$는 [[표준정규분포]]의 [[누적분포함수]]이다. 
- 
----- 
-  * [[정규분포]] 
-  * [[표준정규분포표]]