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카이스퀘어분포 [2013/03/10 15:39] 127.0.0.1 바깥 편집기 |
카이스퀘어분포 [2021/03/10 21:42] |
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|---|---|---|---|
| 줄 1: | 줄 1: | ||
| - | ====== 카이스퀘어분포 (Chi-squre Distribution) ====== | ||
| - | ===== 정의 ===== | ||
| - | [[카이스퀘어분포]]는 [[감마분포]]의 특별한 경우로 $X \sim G(\nu/2 , 2)$를 따르는 [[감마분포]] 이다. 즉 [[감마분포]]에서 $\alpha=\nu/2 , \beta=2$인 분포이다. | ||
| - | ===== 표기 ===== | ||
| - | [[확률변수]] $X$가 자유도 $\nu$인 [[카이스퀘어분포]]일 경우 아래와 같이 표기 한다. | ||
| - | * $ X \sim \chi^{2}(\nu)$ | ||
| - | ===== 받침 ===== | ||
| - | $$ x \in [ \ 0 \ , \ \infty \ ) $$ | ||
| - | ===== 확률밀도함수 ===== | ||
| - | $$ f(x) = \left[ \frac{1}{\Gamma(\nu/2) \cdot 2^{\nu/2}} \right] \cdot x^{(\nu/2)-1} \cdot e^{-x/2} $$ | ||
| - | |||
| - | <plot> | ||
| - | set title "Chi-squre Distribution PDF" | ||
| - | set size 1 | ||
| - | set xrange [0:15] | ||
| - | set yrange [0:0.2] | ||
| - | set format x "%.1f" | ||
| - | set format y "%.2f" | ||
| - | set xlabel "x" | ||
| - | set ylabel "f(x)" | ||
| - | |||
| - | log2 = 0.693147180559945 | ||
| - | chi(x,df1)=exp((0.5*df1-1.0)*log(x)-0.5*x-lgamma(0.5*df1)-df1*0.5*log2) | ||
| - | |||
| - | plot chi(x,4) title "df = 4", \ | ||
| - | chi(x,6) title "df = 6", \ | ||
| - | chi(x,8) title "df = 8" | ||
| - | </plot> | ||
| - | ===== 누적분포함수 ===== | ||
| - | $$ F(x) = P \left( \ \frac{1}{2} \nu \ , \ \frac{1}{2} x \ \right) $$ | ||
| - | |||
| - | <plot> | ||
| - | set title "Chi-squre Distribution CDF" | ||
| - | set size 1 | ||
| - | set xrange [0:15] | ||
| - | set yrange [0:1.1] | ||
| - | set format x "%.1f" | ||
| - | set format y "%.2f" | ||
| - | set xlabel "x" | ||
| - | set ylabel "F(x)" | ||
| - | set key left | ||
| - | |||
| - | cchi(x,df1)=igamma(0.5*df1,0.5*x) | ||
| - | |||
| - | plot cchi(x,4) title "df = 4", \ | ||
| - | cchi(x,6) title "df = 6", \ | ||
| - | cchi(x,8) title "df = 8" | ||
| - | </plot> | ||
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| - | 단, $P(\alpha,\beta)$는 [[정칙 감마함수]]이다. | ||
| - | ===== 기대값 ===== | ||
| - | $$E(X)=\nu$$ | ||
| - | ===== 분산 ===== | ||
| - | $$Var(X)=2\nu$$ | ||
| - | ===== 왜도 ===== | ||
| - | $$ \gamma_{1} = 2 \sqrt{\frac{2}{\nu}} $$ | ||
| - | ===== 첨도 ===== | ||
| - | $$ \gamma_{2} = \frac{12}{\nu} $$ | ||
| - | ===== 특성함수 ===== | ||
| - | $$ \phi \ (t) = (1-2 i t)^{-\nu/2} $$ | ||
| - | ===== 적률생성함수 ===== | ||
| - | $$ M(t) = (1-2t)^{-\nu/2} $$ | ||
| - | ===== 원적률 ===== | ||
| - | * $ \mu'_{1} = \nu $ | ||
| - | * $ \mu'_{2} = \nu ( \nu + 2) $ | ||
| - | * $\mu'_{3} = \nu ( \nu + 2)( \nu + 4) $ | ||
| - | * $\mu'_{4} = \nu ( \nu + 2)( \nu + 4)( \nu + 6) $ | ||
| - | |||
| - | * $\mu'_{k} = \nu ( \nu + 2) \ \cdots \ ( \nu + 2 k - 2) $ | ||
| - | ===== 중심적률 ===== | ||
| - | * $ \mu_{2} = 2 \nu $ | ||
| - | * $ \mu_{3} = 8 \nu $ | ||
| - | * $ \mu_{4} = 12 \nu ( \nu + 4) $ | ||
| - | * $ \mu_{5} = 32 \nu ( 5 \nu + 12) $ | ||
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| - | * $ \mu_{k} = 2^{k} \ U( \ -k \ , \ 1 - k - \frac{1}{2} \nu \ , \ - \frac{1}{2} \nu \ ) $ | ||
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| - | * 단, $U( \ a \ , \ b \ , \ x \ )$ ??함수(confluent hypergeometric function of the second kind)이다. (Edit Me) | ||
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| - | ===== 특징 ===== | ||
| - | - [[재생성]]을 가진다. | ||
| - | - $ X_{i} \sim \chi^{2}(\nu_{i})$이면 $\sum X_{i} \sim \chi^{2}(\sum \nu_{i})$이 성립한다. | ||
| - | ===== 타 분포와의 관계 ===== | ||
| - | * [[정규분포와 카이스퀘어분포 관계]] | ||
| - | * [[감마분포와 카이스퀘어분포 관계]] | ||
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| - | * [[분포]] | ||
| - | * [[카이스퀘어분포표]] | ||