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자연수 [2012/03/08 06:38]
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-====== 자연수 (Natural Number) ====== 
- ​[[수학]]에서 [[자연수]]는 양의 [[정수]] (1, 2, 3, ...), 또는 음이 아닌 [[정수]] (0, 1, 2, 3, ...)를 지칭한다. 전자는 [[수론]]에서,​ 후자는 [[집합론]]에서 보통 사용된다. 
-===== 정의 ===== 
- ​역사적으로 [[자연수]]의 엄밀한 수학적 정의는 여러 어려움을 겪으면서 만들어졌다. [[페아노의 공리]]는 어떤 엄밀한 정의라도 반드시 만족해야 할 조건들을 제시하고,​ [[집합론]]의 경우 특정한 구성(construction)을 사용해서 [[페아노의 공리]]를 만족하는 모델이 존재한다는 것을 보일 수 있다. 
  
- ​페아노의 공리 
- 
-  - 0은 [[자연수]]이다. 
-  - 모든 자연수 ''​a''​에 대해서 그 다음 수 ''​S''​(''​a''​)가 존재한다. 
-  - 다음 수가 0인 자연수는 존재하지 않는다. 
-  - 서로 다른 자연수 ''​a''​와''​b''​에 대해서, 그 다음 수 ''​S''​(''​a''​)와 ''​S''​(''​b''​) 또한 서로 다르다. 
-  - 0이 어떤 성질을 만족하고,​ 임의의 자연수 ''​k''​가 그 성질을 만족할 때 그 다음 수 ''​S''​(''​k''​) 또한 그 성질을 만족하면,​ 이 성질은 어떤 자연수에 대해서도 만족된다. (이는 [[[[수학적 귀납법]]]]이 올바르다는 것을 보장해 준다.) 
- 
- ​여기서 정의에 사용된 "​0"​는 일반적으로 사용하는 숫자 0에 대응할 필요가 없으며, 공리를 만족하는 어떤 것이라도 될 수 있다. 이 공리를 만족하는 체계는 0 또는 1로 시작하는 자연수 이외에도 많이 존재한다. 
-===== 표기법 ===== 
- ​수학자들은 N 또는 $\mathbb{N}$ 을 모든 [[자연수]]의 [[집합]]을 나타내는 데 사용한다. 이 [[집합]]은 정의에 따라서 [[무한 집합]]이지만 [[가산 집합]]이다. 
- 
- ​집합에 0이 포함되었는지 아닌지를 분명히 하기 위해서 첨자 "​0"​이나 "​*"​를 붙이기도 한다. 즉, 
- 
- 
-  * $\mathbb{N}_{0} = \{ 0, 1, 2, 3, \cdots \}$ 
- 
-  * $\mathbb{N}_{*} = \{ 1, 2, 3, \cdots \}$ 
- 
- 
- ​(종종 첨자 "​+"​가 "​양수"​를 강조하기 위해 사용되기도 한다. 하지만 자연수가 아닌 다른 경우, 이 첨자는 "​음수가 아닌"​ 것을 강조하기 위해서 많이 사용된다. 예를 들어 $\mathbb{R}_{+} = [[0, \infty )$ , $\mathbb{Z}_{+} = \{ 0, 1, 2, \cdots \}$ 이다. 첨자 "​*"​는 0이 아니거나,​ [[역원]]이 존재하는 [[원소]]들의 [[집합]]을 나타내는 데 일반적으로 사용된다.) 
- 
- ​어떤 경우에는 W 또는 $\mathbb{W}$ 가 "​범자연수"​(whole number)의 [[집합]]을 나타내는 데 사용되기도 하는데, 여기서 [[범자연수]]는 종종 여기서 설명하는 [[자연수]]를 가리키기도 하고, [[정수]]를 가리키기도 한다. 
- 
- ​집합론자들은 종종 모든 [[자연수]]의 [[집합]]을 ω로 표기하기도 하며, 이 경우 0은 명시적으로 [[자연수]]에 포함된다.