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일원배치법_변량모형_반복수_균일 [2012/07/23 18:19] moonrepeat [분산분석표] |
일원배치법_변량모형_반복수_균일 [2021/03/10 21:42] |
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|---|---|---|---|
| 줄 1: | 줄 1: | ||
| - | ====== 일원배치법 (변량모형) (반복수 균일) ====== | ||
| - | ===== 데이터 구조 ===== | ||
| - | [[요인]] $A$는 [[변량인자]] | ||
| - | $$ y_{ij} = \mu + a_{i} + e_{ij} $$ | ||
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| - | * $i$ : [[인자]] $A$의 [[수준]] $( i = 1,2, \cdots ,l )$ | ||
| - | * $j$ : 실험의 [[반복]] $( j = 1,2, \cdots ,r )$ | ||
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| - | * $a_{i} \sim N(0, \sigma_{A}^{ \ 2})$이고 서로 [[독립]] | ||
| - | * $e_{ij} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$이고 서로 [[독립]] | ||
| - | * $Cov(a_{i} , e_{ij}) = 0$ | ||
| - | ===== 가설 ===== | ||
| - | [[인자]] $A$의 각 [[수준]]에서 [[특성치]]의 차이가 유의한가? | ||
| - | |||
| - | * [[귀무가설]] : $H_{0} : \sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} = 0$ | ||
| - | * [[대립가설]] : $H_{1} : \sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} > 0$ | ||
| - | ===== 자료의 구조 ===== | ||
| - | ^ ^ [[인자]]의 [[수준]] ^^^^^ 합계 | | ||
| - | ^:::^ $$A_{1}$$ ^ $$A_{2}$$ ^ $$A_{3}$$ ^ $$\cdots$$ ^ $$A_{l}$$ ^:::| | ||
| - | | 실험의\\ 반 복 | $$y_{11}$$ | $$y_{21}$$ | $$y_{31}$$ | $$\cdots$$ | $$y_{l1}$$ | | | ||
| - | |:::| $$y_{12}$$ | $$y_{22}$$ | $$y_{32}$$ | $$\cdots$$ | $$y_{l2}$$ |:::| | ||
| - | |:::| $$\vdots$$ | $$\vdots$$ | $$\vdots$$ | | $$\vdots$$ |:::| | ||
| - | |:::| $$y_{1r}$$ | $$y_{2r}$$ | $$y_{3r}$$ | $$\cdots$$ | $$y_{lr}$$ |:::| | ||
| - | ^ 합계 ^ $$T_{1.}$$ ^ $$T_{2.}$$ ^ $$T_{3.}$$ ^ $$\cdots$$ ^ $$T_{l.}$$ ^ $$T$$ | | ||
| - | ^ [[평균]] ^ $$\overline{y}_{1.}$$ ^ $$\overline{y}_{2.}$$ ^ $$\overline{y}_{3.}$$ ^ $$\cdots$$ ^ $$\overline{y}_{l.}$$ ^ $$\overline{\overline{y}}$$ | | ||
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| - | | $$T_{i.} = \sum_{j=1}^{r} y_{ij}$$ | $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{r}$$ | | ||
| - | | $$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} y_{ij}$$ | $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lr} = \frac{T}{N}$$ | | ||
| - | | $$N = lr$$ | $$CT = \frac{T^{2}}{lr} = \frac{T^{2}}{N}$$ | | ||
| - | ===== 제곱합 ===== | ||
| - | 개개의 데이터 $y_{ij}$와 총 [[평균]] $\overline{\overline{y}}$의 차이는 다음과 같이 두 부분으로 나뉘어진다. | ||
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| - | $$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$ | ||
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| - | 양변을 제곱한 후에 모든 $i$와 $j$에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다. | ||
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| - | $$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r}(y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$ | ||
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| - | 위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $S_{T}$이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$의 [[변동]], [[오차변동]]인 $S_{A}$, $S_{E}$가 된다. | ||
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| - | $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{T}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} y_{ij}^{2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ | ||
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| - | $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{A}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= r \cdot \sum_{i=1}^{l} \overline{y}_{i.}^{2} -CT \\ &= \sum_{i=1}^{l} \frac{T_{i.}^{2}}{r} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ | ||
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| - | $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{E}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r} (y_{ij} - \overline{y}_{i.})^{2} \\ &= S_{_{T}}-S_{_{A}} \end{split}\end{displaymath}$$ | ||
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| - | 단, $CT$는 $CT = \frac{T^{2}}{lr}=\frac{T^{2}}{N}$으로 [[수정항]]이라 부른다. | ||
| - | ===== 자유도 ===== | ||
| - | $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ | ||
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| - | $$\nu_{_{E}} = l(r-1)$$ | ||
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| - | $$\nu_{_{T}} = lr - 1 = N-1$$ | ||
| - | ===== 평균제곱 ===== | ||
| - | $$V_{_{A}} = \frac{S_{_{A}}}{\nu_{_{A}}}$$ | ||
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| - | $$V_{_{E}} = \frac{S_{_{E}}}{\nu_{_{E}}}$$ | ||
| - | ===== 평균제곱의 기대값 ===== | ||
| - | $$E(V_{A}) = \sigma_{E}^{ \ \ 2} + r \sigma_{A}^{ \ \ 2}$$ | ||
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| - | $$E(V_{E}) = \sigma_{E}^{ \ \ 2}$$ | ||
| - | ===== 분산분석표 ===== | ||
| - | ^ [[요인]] ^ [[제곱합]]\\ $SS$ ^ [[자유도]]\\ $DF$ ^ [[평균제곱]]\\ $MS$ ^ $E(MS)$ ^ $F_{0}$ ^ [[기각치]] ^ [[순변동]]\\ $S\acute{}$ ^ [[기여율]]\\ $\rho$ | | ||
| - | | $$A$$ | $$S_{_{A}}$$ | $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ | $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + r \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ | $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ | $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ | $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ | $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ | | ||
| - | | $$E$$ | $$S_{_{E}}$$ | $$\nu_{_{E}} = l(r - 1)$$ | $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ | | | $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{}$$ | $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$ | | ||
| - | | $$T$$ | $$S_{_{T}}$$ | $$\nu_{_{T}} = lr - 1$$ | | | | | $$S_{_{T}}$$ | $$1$$ | | ||
| - | ===== 분산분석 ===== | ||
| - | $$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$ | ||
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| - | 기각역 : $F_{0} > F(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}} \ ; \ \alpha)$ | ||
| - | ===== 분산의 추정 ===== | ||
| - | $$ \hat{\sigma}_{A}^{ \ 2} = \frac{V_{A}-V_{E}}{r}$$ | ||
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| - | * [[실험계획법]] | ||
| - | * [[일원배치법]] | ||