meta data for this page
차이
문서의 선택한 두 판 사이의 차이를 보여줍니다.
|
일원배치법_모수모형_반복수_불균일 [2012/07/23 18:24] moonrepeat [데이터 구조] |
일원배치법_모수모형_반복수_불균일 [2021/03/10 21:42] |
||
|---|---|---|---|
| 줄 1: | 줄 1: | ||
| - | ====== 일원배치법 (모수모형) (반복수 불균일) ====== | ||
| - | ===== 데이터 구조 ===== | ||
| - | [[요인]] $A$는 [[모수인자]] | ||
| - | $$ y_{ij} = \mu + a_{i} + e_{ij} $$ | ||
| - | |||
| - | * $i$ : [[인자]] $A$의 [[수준]] $( i = 1,2, \cdots ,l )$ | ||
| - | * $j$ : 실험의 [[반복]] $( j = 1,2, \cdots ,r_{i} )$ | ||
| - | |||
| - | * $e_{ij} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$이고 서로 [[독립]] | ||
| - | ===== [가설] ===== | ||
| - | [인자] $$A$$ 의 각 수준에서 [특성치]의 차이가 유의한가? | ||
| - | |||
| - | [귀무가설] : $$H_{0} : a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{l} = 0$$ | ||
| - | |||
| - | [대립가설] : $$H_{1} : a_{i} \neq 0$$ | ||
| - | |||
| - | |||
| - | 또한, [모수모형]은   $$\sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} = \sum_{i=1}^{l} \frac{a_{i}^{ \ \ 2}}{l-1}$$ 이므로 | ||
| - | |||
| - | [귀무가설] : $$H_{0} : \sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} = 0$$ | ||
| - | |||
| - | [대립가설] : $$H_{1} : \sigma_{_{A}}^{ \ \ 2} > 0$$ | ||
| - | |||
| - | 로 표현 가능하다. | ||
| - | ---- | ||
| - | ===== 자료의 구조 ===== | ||
| - | ||<|2> |||||||||| '''[인자]의 수준''' ||<|2> '''합계''' || | ||
| - | || $$A_{1}$$ || $$A_{2}$$ || $$A_{3}$$ || $$\cdots$$ || $$A_{l}$$ || | ||
| - | |||||||||||||| || | ||
| - | ||<|4> '''실험의'''[[BR]]'''반 복''' || $$y_{11}$$ || $$y_{21}$$ || $$y_{31}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l1}$$ ||<|4> || | ||
| - | || $$y_{12}$$ || $$y_{22}$$ || $$y_{32}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l2}$$ || | ||
| - | || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$\vdots$$ || | ||
| - | || $$y_{1r_{1}}$$ || $$y_{2r_{2}}$$ || $$y_{3r_{3}}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{lr_{l}}$$ || | ||
| - | |||||||||||||| || | ||
| - | || '''합계''' || $$T_{1.}$$ || $$T_{2.}$$ || $$T_{3.}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{l.}$$ || $$T$$ || | ||
| - | || '''[평균]''' || $$\overline{y}_{1.}$$ || $$\overline{y}_{2.}$$ || $$\overline{y}_{3.}$$ || $$\cdots$$ || $$\overline{y}_{l.}$$ || $$\overline{\overline{y}}$$ || | ||
| - | |||
| - | || $$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}$$ || $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{N}$$ || | ||
| - | || $$T_{i.} = \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}$$ || $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{r_{i}}$$ || | ||
| - | || $$N = \sum_{i=1}^{l} r_{i}$$ || $$CT = \frac{T^{2}}{N}$$ || | ||
| - | ---- | ||
| - | ===== [제곱합] ===== | ||
| - | 개개의 데이터   $$y_{ij}$$ 와 총 [평균]   $$\overline{\overline{y}}$$ 의 차이는 다음과 같이 두 부분으로 나뉘어진다. | ||
| - | |||
| - | $$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$ | ||
| - | |||
| - | 양변을 제곱한 후에 모든   $$i$$ 와   $$j$$ 에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다. | ||
| - | |||
| - | $$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{r_{i}}(y_{ij} - \overline{y}_{i.})$$ | ||
| - | |||
| - | 위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $$S_{T}$$ 이고, 오른쪽 항은 차례대로   $$A$$ 의 [변동], [오차변동]인   $$S_{A}$$ , $$S_{E}$$ 가 된다. | ||
| - | |||
| - | |||
| - | $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{T}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} y_{ij}^{2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ | ||
| - | |||
| - | $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{A}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} r_{i} (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \frac{T_{i.}^{2}}{r_{i}} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ | ||
| - | |||
| - | $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{_{E}} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{r_{i}} (y_{ij} - \overline{y}_{i.})^{2} \\ &= S_{_{T}}-S_{_{A}} \end{split}\end{displaymath}$$ | ||
| - | |||
| - | |||
| - | 단,   $$CT$$ 는   $$CT =\frac{T^{2}}{N}$$ 으로 [수정항]이라 부른다. | ||
| - | ---- | ||
| - | ===== [자유도] ===== | ||
| - | $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ | ||
| - | |||
| - | $$\nu_{_{E}} = N - l$$ | ||
| - | |||
| - | $$\nu_{_{T}} = N-1$$ | ||
| - | ---- | ||
| - | ===== [평균제곱] ===== | ||
| - | $$V_{_{A}} = \frac{S_{_{A}}}{\nu_{_{A}}}$$ | ||
| - | |||
| - | $$V_{_{E}} = \frac{S_{_{E}}}{\nu_{_{E}}}$$ | ||
| - | ---- | ||
| - | ===== [평균제곱의 기대값] ===== | ||
| - | $$E(V_{A}) = \sigma_{E}^{ \ 2} + \frac{\sum_{i=1}^{l} r_{i}a_{i}^{ \ 2}}{l-1}$$ | ||
| - | |||
| - | $$E(V_{E}) = \sigma_{E}^{ \ 2}$$ | ||
| - | ---- | ||
| - | ===== [분산분석표] ===== | ||
| - | || '''[요인]''' || '''[제곱합]''' $$SS$$ || '''[자유도]''' $$DF$$ || '''[평균제곱]''' $$MS$$ || $$E(MS)$$ || $$F_{0}$$ || '''기각치''' || '''[순변동]''' $$ S\acute{} $$ || '''[기여율]''' $$\rho$$ || | ||
| - | |||||||||||||||||| || | ||
| - | || $$A$$ || $$S_{_{A}}$$ || $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ || $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ || $$\sigma_{E}^{ \ 2} + \frac{\sum_{i=1}^{l} r_{i}^{ \ 2} a_{i}^{ \ 2}}{l-1}$$ || $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ || $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ || $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ || $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ || | ||
| - | || $$E$$ || $$S_{_{E}}$$ || $$\nu_{_{E}} = l(r - 1)$$ || $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ || $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ || || || $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{}$$ || $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$ || | ||
| - | |||||||||||||||||| || | ||
| - | || $$T$$ || $$S_{_{T}}$$ || $$\nu_{_{T}} = lr - 1$$ || || || || || $$S_{_{T}}$$ || $$1$$ || | ||
| - | ---- | ||
| - | ===== [분산분석] ===== | ||
| - | $$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$ | ||
| - | |||
| - | 기각역 :   $$F_{0} > F(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}} \ ; \ \alpha)$$ | ||
| - | ---- | ||
| - | ===== 각 [수준]의 [모평균]의 [추정] ===== | ||
| - | $$\mu_{i}$$ 의   $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다. | ||
| - | |||
| - | $$\mu_{i} = \left( \ \overline{y}_{i.} - t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{_{E}}}{r_{i}}} \ , \ \overline{y}_{i.} + t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{_{E}}}{r_{i}}} \ \right)$$ | ||
| - | ---- | ||
| - | ===== 각 [수준]의 [모평균차]의 [추정] ===== | ||
| - | $$\mu_{i} - \mu_{j}$$ 의   $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다. | ||
| - | |||
| - | $$\mu_{i} - \mu_{j} = \left( \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) - t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{V_{_{E}} \left( \frac{1}{r_{i}} + \frac{1}{r_{j}} \right) } \ , \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) + t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{V_{_{E}} \left( \frac{1}{r_{i}} + \frac{1}{r_{j}} \right) } \ \right) $$ | ||
| - | ---- | ||
| - | ===== 각 [수준]의 [모평균차]의 [검정] ===== | ||
| - | 두 [수준]   $$i,j$$ 간의 [표본평균]의 차   $$ | \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.} | $$ 를 구하여 이 값이 [최소유의차]([LSD])보다 크면 두 [수준]간에 차이가 유의하고 반대로 작으면 두 [수준]간의 차이는 유의하지 않다고 결론내릴 수 있다. | ||
| - | |||
| - | [최소유의차]   [LSD]는 아래와 같다. | ||
| - | |||
| - | $$\operatorname{LSD} = t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu_{_{E}}) \sqrt{V_{_{E}} \left( \frac{1}{r_{i}} + \frac{1}{r_{j}} \right) }$$ | ||
| - | ---- | ||
| - | ===== [오차분산]의 [추정] ===== | ||
| - | $$\sigma_{_{E}}^{ \ \ 2}$$ 의   $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다. | ||
| - | |||
| - | $$\sigma_{_{E}}^{ \ \ 2} = \left( \frac{S_{_{E}}}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}} ( \nu_{_{E}}) } \ , \ \frac{S_{_{E}}}{\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}} ( \nu_{_{E}}) } \right)$$ | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | * [[실험계획법]] | ||
| - | * [[일원배치법]] | ||