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--- 이원배치법_모수모형_반복없음 [2012/07/24 22:36]
moonrepeat [자료의 구조]
+++ 이원배치법_모수모형_반복없음 [2021/03/10 21:42]
@@ 줄 1: / 줄 1: @@
-====== 이원배치법 (모수모형) (반복없음) ======
-===== 데이터 구조 =====
- [[인자]] $A$는 [[모수인자]]
- [[인자]] $B$는 [[모수인자]]
- $$ y_{ij} = \mu + a_{i} + b_{j} + e_{ij} $$
-  * $y_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$에서 얻은 [[측정값]]
-  * $\mu$ : 실험전체의 [[모평균]]
-  * $a_{i}$ : $A_{i}$가 주는 효과
-  * $b_{j}$ : $B_{j}$가 주는 효과
-  * $e_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$에서 얻은 [[측정값]]의 [[오차]] ($e_{ij} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$이고 서로 [[독립]])
-  * $i$ : [[인자]] $A$의 [[수준]] 수 $( i = 1,2, \cdots ,l )$
-  * $j$ : [[인자]] $B$의 [[수준]] 수 $( j = 1,2, \cdots ,m )$
-===== 자료의 구조 =====
-^  [[인자]]\\ $B$  ^  [[인자]] $A$  ^^^^  합계  ^  [[평균]]  |
-^:::^  $$A_{1}$$  ^  $$A_{2}$$  ^  $$\cdots$$  ^  $$A_{l}$$  ^:::^:::|
-^  $$B_{1}$$  |  $$y_{11}$$  |  $$y_{21}$$  |  $$\cdots$$  |  $$y_{l1}$$  |  $$T_{.1}$$  |  $$\overline{y}_{.1}$$  |
-^  $$B_{2}$$  |  $$y_{12}$$  |  $$y_{22}$$  |  $$\cdots$$  |  $$y_{l2}$$  |  $$T_{.2}$$  |  $$\overline{y}_{.2}$$  |
-^  $$\vdots$$  |  $$\vdots$$  |  $$\vdots$$  |   |  $$\vdots$$  |  $$\vdots$$  |  $$\vdots$$  |
-^  $$B_{m}$$  |  $$y_{1m}$$  |  $$y_{2m}$$  |  $$\cdots$$  |  $$y_{lm}$$  |  $$T_{.m}$$  |  $$\overline{y}_{.m}$$  |
-^  합계  ^  $$T_{1.}$$  ^  $$T_{2.}$$  ^  $$\cdots$$  ^  $$T_{l.}$$  ^  $$T$$  ^   |
-^  [[평균]]  ^  $$\overline{y}_{1.}$$  ^  $$\overline{y}_{2.}$$  ^  $$\cdots$$  ^  $$\overline{y}_{l.}$$  ^   ^  $$\overline{\overline{y}}$$  |
-| $$T_{i.} = \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ | $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{m}$$ |
-| $$T_{.j} = \sum_{i=1}^{l} y_{ij}$$ | $$\overline{y}_{.j} = \frac{T_{.j}}{l}$$ |
-| $$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ | $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lm} = \frac{T}{N}$$ |
-| $$N = lm$$ | $$CT = \frac{T^{2}}{lm} = \frac{T^{2}}{N}$$ |
-===== 제곱합 =====
- 개개의 데이터 $y_{ij}$와 총 [[평균]] $\overline{\overline{y}}$의 차이는 다음과 같이 세 부분으로 나뉘어진다.
- $$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} +  \overline{\overline{y}})$$
- 양변을 제곱한 후에 모든 $i$와 $j$에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.
- $$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} +  \overline{\overline{y}})^{2}$$
- 위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $S_{T}$이고, 오른쪽 항은 차례대로 $A$의 [[변동]], $B$의 [[변동]], [[오차변동]]인 $S_{A}$, $S_{B}$, $S_{E}$가 된다.
- $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{T} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}^{ \ 2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$
- $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (\overline{y}_{i.}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \frac{T_{i.}^{ \ 2}}{m} - CT \end{split}\end{displaymath}$$
- $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{B} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (\overline{y}_{.j}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{j=1}^{m} \frac{T_{.j}^{ \ 2}}{l} - CT \end{split}\end{displaymath}$$
- $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{E} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{T} - S_{A} - S_{B} \end{split}\end{displaymath}$$
-===== 자유도 =====
- $$\nu_{_{A}} = l-1$$
- $$\nu_{_{B}} = m-1$$
- $$\nu_{_{E}} = (l-1)(m-1)$$
- $$\nu_{_{T}} = lm-1=N-1$$
-===== 평균제곱 =====
- $$V_{A} = \frac{S_{A}}{\nu_{_{A}}}$$
- $$V_{B} = \frac{S_{B}}{\nu_{_{B}}}$$
- $$V_{E} = \frac{S_{E}}{\nu_{_{E}}}$$
-===== 평균제곱의 기대값 =====
- $$E(V_{A}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$
- $$E(V_{B}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$
- $$E(V_{E}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$
-===== 분산분석표 =====
-^  [[요인]]  ^  [[제곱합]]\\ $SS$  ^  [[자유도]]\\ $DF$  ^  [[평균제곱]]\\ $MS$  ^  $E(MS)$  ^  $F_{0}$  ^  [[기각치]]  ^  [[순변동]]\\ $S\acute{}$  ^  [[기여율]]\\ $\rho$  |
-|  $$A$$  |  $$S_{_{A}}$$  |  $$\nu_{_{A}} = l - 1$$  |  $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$  |  $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$  |  $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$  |  $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$  |  $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$  |  $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$  |
-|  $$B$$  |  $$S_{_{B}}$$  |  $$\nu_{_{B}} = m - 1$$  |  $$V_{_{B}} = S_{_{B}} / \nu_{_{B}}$$  |  $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$  |  $$V_{_{B}}/V_{_{E}}$$  |  $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{B}} \ , \ \nu_{_{E}})$$  |  $$S_{_{B}}\acute{} = S_{_{B}} - \nu_{_{B}} \ V_{_{E}}$$  |  $$S_{_{B}}\acute{} / S_{_{T}} $$  |
-|  $$E$$  |  $$S_{_{E}}$$  |  $$\nu_{_{E}} = (l - 1)(m - 1)$$  |  $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$  |  $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$  |    |    |  $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{} - S_{_{B}}\acute{}$$  |  $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$  |
-|  $$T$$  |  $$S_{_{T}}$$  |  $$\nu_{_{T}} = lm - 1$$  |   |   |   |   |  $$S_{_{T}}$$  |  $$1$$  |
-===== 분산분석 =====
- [[인자]] $A$에 대한 [[분산분석]]
- $$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$
- [[기각역]] : $F_{0} > F_{a-\alpha}(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}})$
- [[인자]] $B$에 대한 [[분산분석]]
- $$F_{0}=\frac{V_{_{B}}}{V_{_{E}}}$$
- [[기각역]] : $F_{0} > F_{a-\alpha}(\nu_{_{B}},\nu_{_{E}})$
-===== 각 수준의 모평균의 추정 =====
- [[인자]] $A$의 [[모평균]]에 관한 [[추정]]
- $i$ [[수준]]에서의 [[모평균]] $\mu(A_{i})$의 [[점추정]]값
- $$\hat{\mu}(A_{i})=\widehat{\mu + a_{i}} = \overline{y}_{i.}$$
- $i$ [[수준]]에서의 [[모평균]] $\mu(A_{i})$의 $100(1-\alpha) \%$ [[신뢰구간]]은 아래와 같다.
- $$\hat{\mu}(A_{i})= \left( \overline{y}_{i.} - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{m}} \ , \ \overline{y}_{i.} + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{m}} \right)$$
-----
- [[인자]] $B$의 [[모평균]]에 관한 [[추정]]
- $j$ [[수준]]에서의 [[모평균]] $\mu(B_{j})$의 [[점추정]]값
- $$\hat{\mu}(B_{j})=\widehat{\mu + b_{j}} = \overline{y}_{.j}$$
- $j$ [[수준]]에서의 [[모평균]] $\mu(B_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ [[신뢰구간]]은 아래와 같다.
- $$\hat{\mu}(B_{j})= \left( \overline{y}_{.j} - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{l}} \ , \ \overline{y}_{.j} + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{l}} \right)$$
-----
- [[인자]] $A$와 $B$의 [[모평균]]에 관한 [[추정]]
- $A$ [[인자]]의 $i$ [[수준]]과 $B$ [[인자]]의 $j$ [[수준]]에서의 [[모평균]] $\mu(A_{i}B_{j})$의 [[점추정]]값
- $$\hat{\mu}(A_{i}B_{j})=\widehat{\mu+a_{i}+b_{j}}=\overline{y}_{i.} + \overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}$$
- $A$ [[인자]]의 $i$ [[수준]]과 $B$ [[인자]]의 $j$ [[수준]]에서의 [[모평균]] $\mu(A_{i}B_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ [[신뢰구간]]은 아래와 같다.
- $$\hat{\mu}(A_{i}B_{j})= \left( (\overline{y}_{i.} + \overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) - t_{\alpha/2}(\nu_{E})\sqrt{\frac{V_{E}}{n_{e}}} \ , \ (\overline{y}_{i.} + \overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) + t_{\alpha/2}(\nu_{E})\sqrt{\frac{V_{E}}{n_{e}}} \right)$$
- 단, $n_{e}$는 [[유효반복수]]이고 $n_{e} = \frac{lm}{l+m-1}$이다.
-===== 각 수준의 모평균차의 추정 =====
- [[인자]] $A$의 [[모평균]]차에 관한 [[추정]]
- $i$ [[수준]]과 $j$ [[수준]]의 [[모평균]]차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 [[점추정]]값
- $$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})} = \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}$$
- $i$ [[수준]]과 $j$ [[수준]]의 [[모평균]]차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ [[신뢰구간]]은 아래와 같다.
- $$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})}= \left( (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{m}} \ , \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{m}} \right)$$
-----
- [[인자]] $B$의 [[모평균]]차에 관한 [[추정]]
- $i$ [[수준]]과 $j$ [[수준]]의 [[모평균]]차 $\mu(B_{i})-\mu(B_{j})$의 [[점추정]]값
- $$\widehat{\mu(B_{i})-\mu(B_{j})} = \overline{y}_{.i} - \overline{y}_{.j}$$
- $i$ [[수준]]과 $j$ [[수준]]의 [[모평균]]차 $\mu(B_{i})-\mu(B_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ [[신뢰구간]]은 아래와 같다.
- $$\widehat{\mu(B_{i})-\mu(B_{j})}= \left( (\overline{y}_{.i} - \overline{y}_{.j}) - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{l}} \ , \ (\overline{y}_{.i} - \overline{y}_{.j}) + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{l}} \right)$$
-----
-  * [[결측치 추정 (Yates방법)]]

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