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이원배치법_모수모형_반복없음 [2012/07/24 22:29] moonrepeat [분산분석표] |
이원배치법_모수모형_반복없음 [2021/03/10 21:42] |
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줄 1: | 줄 1: | ||
- | ====== 이원배치법 (모수모형) (반복없음) ====== | ||
- | ===== 데이터 구조 ===== | ||
- | [[인자]] $A$는 [[모수인자]] | ||
- | [[인자]] $B$는 [[모수인자]] | ||
- | |||
- | $$ y_{ij} = \mu + a_{i} + b_{j} + e_{ij} $$ | ||
- | |||
- | * $y_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$에서 얻은 [[측정값]] | ||
- | * $\mu$ : 실험전체의 [[모평균]] | ||
- | * $a_{i}$ : $A_{i}$가 주는 효과 | ||
- | * $b_{j}$ : $B_{j}$가 주는 효과 | ||
- | * $e_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$에서 얻은 [[측정값]]의 [[오차]] ($e_{ij} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$이고 서로 [[독립]]) | ||
- | |||
- | * $i$ : [[인자]] $A$의 [[수준]] 수 $( i = 1,2, \cdots ,l )$ | ||
- | * $j$ : [[인자]] $B$의 [[수준]] 수 $( j = 1,2, \cdots ,m )$ | ||
- | ===== 자료의 구조 ===== | ||
- | ||<|2> [인자] $$B$$ |||||||| [인자] $$A$$ ||<|2> 합계 ||<|2> [평균] || | ||
- | || $$A_{1}$$ || $$A_{2}$$ || $$\cdots$$ || $$A_{l}$$ || | ||
- | |||||||||||||| || | ||
- | || $$B_{1}$$ || $$y_{11}$$ || $$y_{21}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l1}$$ || $$T_{.1}$$ || $$\overline{y}_{.1}$$ || | ||
- | || $$B_{2}$$ || $$y_{12}$$ || $$y_{22}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l2}$$ || $$T_{.2}$$ || $$\overline{y}_{.2}$$ || | ||
- | || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || | ||
- | || $$B_{m}$$ || $$y_{1m}$$ || $$y_{2m}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{lm}$$ || $$T_{.m}$$ || $$\overline{y}_{.m}$$ || | ||
- | |||||||||||||| || | ||
- | || 합계 || $$T_{1.}$$ || $$T_{2.}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{l.}$$ || $$T$$ || || | ||
- | || [평균] || $$\overline{y}_{1.}$$ || $$\overline{y}_{2.}$$ || $$\cdots$$ || $$\overline{y}_{l.}$$ || || $$\overline{\overline{y}}$$ || | ||
- | |||
- | |||
- | || $$T_{i.} = \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ || $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{m}$$ || | ||
- | || $$T_{.j} = \sum_{i=1}^{l} y_{ij}$$ || $$\overline{y}_{.j} = \frac{T_{.j}}{l}$$ || | ||
- | || $$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ || $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lm} = \frac{T}{N}$$ || | ||
- | || $$N = lm$$ || $$CT = \frac{T^{2}}{lm} = \frac{T^{2}}{N}$$ || | ||
- | ===== 제곱합 ===== | ||
- | 개개의 데이터   $$y_{ij}$$ 와 총 [평균]   $$\overline{\overline{y}}$$ 의 차이는 다음과 같이 세 부분으로 나뉘어진다. | ||
- | |||
- | $$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})$$ | ||
- | |||
- | 양변을 제곱한 후에 모든   $$i$$ 와   $$j$$ 에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다. | ||
- | |||
- | $$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})^{2}$$ | ||
- | |||
- | 위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $$S_{T}$$ 이고, 오른쪽 항은 차례대로   $$A$$ 의 [변동],   $$B$$ 의 [변동], [오차변동]인   $$S_{A}$$ , $$S_{B}$$ , $$S_{E}$$ 가 된다. | ||
- | |||
- | $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{T} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}^{ \ 2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ | ||
- | |||
- | |||
- | $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (\overline{y}_{i.}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \frac{T_{i.}^{ \ 2}}{m} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ | ||
- | |||
- | |||
- | $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{B} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (\overline{y}_{.j}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{j=1}^{m} \frac{T_{.j}^{ \ 2}}{l} - CT \end{split}\end{displaymath}$$ | ||
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- | |||
- | $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{E} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{T} - S_{A} - S_{B} \end{split}\end{displaymath}$$ | ||
- | ===== 자유도 ===== | ||
- | $$\nu_{_{A}} = l-1$$ | ||
- | |||
- | $$\nu_{_{B}} = m-1$$ | ||
- | |||
- | $$\nu_{_{E}} = (l-1)(m-1)$$ | ||
- | |||
- | $$\nu_{_{T}} = lm-1=N-1$$ | ||
- | ===== 평균제곱 ===== | ||
- | $$V_{A} = \frac{S_{A}}{\nu_{_{A}}}$$ | ||
- | |||
- | $$V_{B} = \frac{S_{B}}{\nu_{_{B}}}$$ | ||
- | |||
- | $$V_{E} = \frac{S_{E}}{\nu_{_{E}}}$$ | ||
- | ===== 평균제곱의 기대값 ===== | ||
- | $$E(V_{A}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ | ||
- | |||
- | $$E(V_{B}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$ | ||
- | |||
- | $$E(V_{E}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ | ||
- | ===== 분산분석표 ===== | ||
- | ^ [[요인]] ^ [[제곱합]]\\ $SS$ ^ [[자유도]]\\ $DF$ ^ [[평균제곱]]\\ $MS$ ^ $E(MS)$ ^ $F_{0}$ ^ [[기각치]] ^ [[순변동]]\\ $S\acute{}$ ^ [[기여율]]\\ $\rho$ | | ||
- | | $$A$$ | $$S_{_{A}}$$ | $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ | $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ | $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ | $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ | $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ | $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ | | ||
- | | $$B$$ | $$S_{_{B}}$$ | $$\nu_{_{B}} = m - 1$$ | $$V_{_{B}} = S_{_{B}} / \nu_{_{B}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$ | $$V_{_{B}}/V_{_{E}}$$ | $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{B}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ | $$S_{_{B}}\acute{} = S_{_{B}} - \nu_{_{B}} \ V_{_{E}}$$ | $$S_{_{B}}\acute{} / S_{_{T}} $$ | | ||
- | | $$E$$ | $$S_{_{E}}$$ | $$\nu_{_{E}} = (l - 1)(m - 1)$$ | $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ | $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ | | | $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{} - S_{_{B}}\acute{}$$ | $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$ | | ||
- | | $$T$$ | $$S_{_{T}}$$ | $$\nu_{_{T}} = lm - 1$$ | | | | | $$S_{_{T}}$$ | $$1$$ | | ||
- | ===== 분산분석 ===== | ||
- | [[인자]] $A$에 대한 [[분산분석]] | ||
- | |||
- | $$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$ | ||
- | |||
- | [[기각역]] : $F_{0} > F_{a-\alpha}(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}})$ | ||
- | |||
- | [[인자]] $B$에 대한 [[분산분석]] | ||
- | |||
- | $$F_{0}=\frac{V_{_{B}}}{V_{_{E}}}$$ | ||
- | |||
- | [[기각역]] : $F_{0} > F_{a-\alpha}(\nu_{_{B}},\nu_{_{E}})$ | ||
- | ===== 각 수준의 모평균의 추정 ===== | ||
- | [[인자]] $A$의 [[모평균]]에 관한 [[추정]] | ||
- | |||
- | $i$ [[수준]]에서의 [[모평균]] $\mu(A_{i})$의 [[점추정]]값 | ||
- | |||
- | $$\hat{\mu}(A_{i})=\widehat{\mu + a_{i}} = \overline{y}_{i.}$$ | ||
- | |||
- | $i$ [[수준]]에서의 [[모평균]] $\mu(A_{i})$의 $100(1-\alpha) \%$ [[신뢰구간]]은 아래와 같다. | ||
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- | $$\hat{\mu}(A_{i})= \left( \overline{y}_{i.} - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{m}} \ , \ \overline{y}_{i.} + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{m}} \right)$$ | ||
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- | ---- | ||
- | [[인자]] $B$의 [[모평균]]에 관한 [[추정]] | ||
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- | $j$ [[수준]]에서의 [[모평균]] $\mu(B_{j})$의 [[점추정]]값 | ||
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- | $$\hat{\mu}(B_{j})=\widehat{\mu + b_{j}} = \overline{y}_{.j}$$ | ||
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- | $j$ [[수준]]에서의 [[모평균]] $\mu(B_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ [[신뢰구간]]은 아래와 같다. | ||
- | |||
- | $$\hat{\mu}(B_{j})= \left( \overline{y}_{.j} - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{l}} \ , \ \overline{y}_{.j} + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{l}} \right)$$ | ||
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- | ---- | ||
- | [[인자]] $A$와 $B$의 [[모평균]]에 관한 [[추정]] | ||
- | |||
- | $A$ [[인자]]의 $i$ [[수준]]과 $B$ [[인자]]의 $j$ [[수준]]에서의 [[모평균]] $\mu(A_{i}B_{j})$의 [[점추정]]값 | ||
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- | $$\hat{\mu}(A_{i}B_{j})=\widehat{\mu+a_{i}+b_{j}}=\overline{y}_{i.} + \overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}$$ | ||
- | |||
- | $A$ [[인자]]의 $i$ [[수준]]과 $B$ [[인자]]의 $j$ [[수준]]에서의 [[모평균]] $\mu(A_{i}B_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ [[신뢰구간]]은 아래와 같다. | ||
- | |||
- | $$\hat{\mu}(A_{i}B_{j})= \left( (\overline{y}_{i.} + \overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) - t_{\alpha/2}(\nu_{E})\sqrt{\frac{V_{E}}{n_{e}}} \ , \ (\overline{y}_{i.} + \overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) + t_{\alpha/2}(\nu_{E})\sqrt{\frac{V_{E}}{n_{e}}} \right)$$ | ||
- | |||
- | 단, $n_{e}$는 [[유효반복수]]이고 $n_{e} = \frac{lm}{l+m-1}$이다. | ||
- | ===== 각 수준의 모평균차의 추정 ===== | ||
- | [[인자]] $A$의 [[모평균]]차에 관한 [[추정]] | ||
- | |||
- | $i$ [[수준]]과 $j$ [[수준]]의 [[모평균]]차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 [[점추정]]값 | ||
- | |||
- | $$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})} = \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}$$ | ||
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- | $i$ [[수준]]과 $j$ [[수준]]의 [[모평균]]차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ [[신뢰구간]]은 아래와 같다. | ||
- | |||
- | $$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})}= \left( (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{m}} \ , \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{m}} \right)$$ | ||
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- | ---- | ||
- | [[인자]] $B$의 [[모평균]]차에 관한 [[추정]] | ||
- | |||
- | $i$ [[수준]]과 $j$ [[수준]]의 [[모평균]]차 $\mu(B_{i})-\mu(B_{j})$의 [[점추정]]값 | ||
- | |||
- | $$\widehat{\mu(B_{i})-\mu(B_{j})} = \overline{y}_{.i} - \overline{y}_{.j}$$ | ||
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- | $i$ [[수준]]과 $j$ [[수준]]의 [[모평균]]차 $\mu(B_{i})-\mu(B_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ [[신뢰구간]]은 아래와 같다. | ||
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- | $$\widehat{\mu(B_{i})-\mu(B_{j})}= \left( (\overline{y}_{.i} - \overline{y}_{.j}) - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{l}} \ , \ (\overline{y}_{.i} - \overline{y}_{.j}) + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{l}} \right)$$ | ||
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- | * [[결측치 추정 (Yates방법)]] |