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--- 이원배치법_모수모형_반복없음 [2012/07/24 22:19]
moonrepeat [각 수준의 모평균차의 추정]
+++ 이원배치법_모수모형_반복없음 [2021/03/10 21:42]
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-====== 이원배치법 (모수모형) (반복없음) ======
-===== 데이터 구조 =====
- [[인자]] $A$는 [[모수인자]]
- [[인자]] $B$는 [[모수인자]]
- $$ y_{ij} = \mu + a_{i} + b_{j} + e_{ij} $$
-  * $y_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$에서 얻은 [[측정값]]
-  * $\mu$ : 실험전체의 [[모평균]]
-  * $a_{i}$ : $A_{i}$가 주는 효과
-  * $b_{j}$ : $B_{j}$가 주는 효과
-  * $e_{ij}$ : $A_{i}$와 $B_{j}$에서 얻은 [[측정값]]의 [[오차]] ($e_{ij} \sim N(0, \sigma_{E}^{ \ 2})$이고 서로 [[독립]])
-  * $i$ : [[인자]] $A$의 [[수준]] 수 $( i = 1,2, \cdots ,l )$
-  * $j$ : [[인자]] $B$의 [[수준]] 수 $( j = 1,2, \cdots ,m )$
-===== 자료의 구조 =====
- ||<|2> [인자] $$B$$ |||||||| [인자] $$A$$ ||<|2> 합계 ||<|2> [평균] ||
- || $$A_{1}$$ || $$A_{2}$$ || $$\cdots$$ || $$A_{l}$$ ||
- |||||||||||||| ||
- || $$B_{1}$$ || $$y_{11}$$ || $$y_{21}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l1}$$ || $$T_{.1}$$ || $$\overline{y}_{.1}$$ ||
- || $$B_{2}$$ || $$y_{12}$$ || $$y_{22}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{l2}$$ || $$T_{.2}$$ || $$\overline{y}_{.2}$$ ||
- || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ || $$\vdots$$ ||
- || $$B_{m}$$ || $$y_{1m}$$ || $$y_{2m}$$ || $$\cdots$$ || $$y_{lm}$$ || $$T_{.m}$$ || $$\overline{y}_{.m}$$ ||
- |||||||||||||| ||
- || 합계 || $$T_{1.}$$ || $$T_{2.}$$ || $$\cdots$$ || $$T_{l.}$$ || $$T$$ || ||
- || [평균] || $$\overline{y}_{1.}$$ || $$\overline{y}_{2.}$$ || $$\cdots$$ || $$\overline{y}_{l.}$$ || || $$\overline{\overline{y}}$$ ||
-  || $$T_{i.} = \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ || $$\overline{y}_{i.} = \frac{T_{i.}}{m}$$ ||
-  || $$T_{.j} = \sum_{i=1}^{l} y_{ij}$$ || $$\overline{y}_{.j} = \frac{T_{.j}}{l}$$ ||
-  || $$T = \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$ || $$\overline{\overline{y}} = \frac{T}{lm} = \frac{T}{N}$$ ||
-  || $$N = lm$$ || $$CT = \frac{T^{2}}{lm} = \frac{T^{2}}{N}$$ ||
-===== 제곱합 =====
- 개개의 데이터&nbsp&nbsp $$y_{ij}$$ 와 총 [평균]&nbsp&nbsp $$\overline{\overline{y}}$$ 의 차이는 다음과 같이 세 부분으로 나뉘어진다.
-  $$(y_{ij} - \overline{\overline{y}}) = (\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}}) + (\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) + (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} +  \overline{\overline{y}})$$
- 양변을 제곱한 후에 모든&nbsp&nbsp $$i$$ 와&nbsp&nbsp $$j$$ 에 대하여 합하면 아래의 등식을 얻을 수 있다.
-  $$\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{\overline{y}})^{2} = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{i.} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(\overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}})^{2} + \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}(y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} +  \overline{\overline{y}})^{2}$$
- 위 식에서 왼쪽 항은 총변동 $$S_{T}$$ 이고, 오른쪽 항은 차례대로&nbsp&nbsp $$A$$ 의 [변동],&nbsp&nbsp $$B$$ 의 [변동], [오차변동]인&nbsp&nbsp $$S_{A}$$ , $$S_{B}$$ , $$S_{E}$$ 가 된다.
-  $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{T} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (y_{ij}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}^{ \ 2} - CT \end{split}\end{displaymath}$$
-  $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{A} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (\overline{y}_{i.}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{i=1}^{l} \frac{T_{i.}^{ \ 2}}{m} - CT \end{split}\end{displaymath}$$
-  $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{B} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (\overline{y}_{.j}- \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= \sum_{j=1}^{m} \frac{T_{.j}^{ \ 2}}{l} - CT \end{split}\end{displaymath}$$
-  $$\begin{displaymath}\begin{split} S_{E} &= \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} (y_{ij} - \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{.j} + \overline{\overline{y}})^{2} \\ &= S_{T} - S_{A} - S_{B} \end{split}\end{displaymath}$$
-===== 자유도 =====
- $$\nu_{_{A}} = l-1$$
- $$\nu_{_{B}} = m-1$$
- $$\nu_{_{E}} = (l-1)(m-1)$$
- $$\nu_{_{T}} = lm-1=N-1$$
-===== 평균제곱 =====
- $$V_{A} = \frac{S_{A}}{\nu_{_{A}}}$$
- $$V_{B} = \frac{S_{B}}{\nu_{_{B}}}$$
- $$V_{E} = \frac{S_{E}}{\nu_{_{E}}}$$
-===== 평균제곱의 기대값 =====
- $$E(V_{A}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$
- $$E(V_{B}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$
- $$E(V_{E}) = \sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$
-===== 분산분석표 =====
- || '''[요인]''' || '''[제곱합]''' $$SS$$ || '''[자유도]''' $$DF$$ || '''[평균제곱]''' $$MS$$ || $$E(MS)$$ || $$F_{0}$$ || '''기각치''' || '''[순변동]''' $$ S\acute{} $$ || '''[기여율]''' $$\rho$$ ||
- |||||||||||||||||| ||
- || $$A$$ || $$S_{_{A}}$$ || $$\nu_{_{A}} = l - 1$$ || $$V_{_{A}} = S_{_{A}} / \nu_{_{A}}$$ || $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + m \ \sigma_{_{A}}^{ \ 2}$$ || $$V_{_{A}}/V_{_{E}}$$ || $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{A}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ || $$S_{_{A}}\acute{} = S_{_{A}} - \nu_{_{A}} \ V_{_{E}}$$ || $$S_{_{A}}\acute{} / S_{_{T}} $$ ||
- || $$B$$ || $$S_{_{B}}$$ || $$\nu_{_{B}} = m - 1$$ || $$V_{_{B}} = S_{_{B}} / \nu_{_{B}}$$ || $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2} + l \ \sigma_{_{B}}^{ \ 2}$$ || $$V_{_{B}}/V_{_{E}}$$ || $$F_{1-\alpha}(\nu_{_{B}} \ , \ \nu_{_{E}})$$ || $$S_{_{B}}\acute{} = S_{_{B}} - \nu_{_{B}} \ V_{_{E}}$$ || $$S_{_{B}}\acute{} / S_{_{T}} $$ ||
- || $$E$$ || $$S_{_{E}}$$ || $$\nu_{_{E}} = (l - 1)(m - 1)$$ || $$V_{_{E}} = S_{_{E}} / \nu_{_{E}}$$ || $$\sigma_{_{E}}^{ \ 2}$$ ||  ||  || $$S_{_{E}}\acute{} = S_{_{T}} - S_{_{A}}\acute{} - S_{_{B}}\acute{}$$ || $$S_{_{E}}\acute{} / S_{_{T}} $$ ||
- |||||||||||||||||| ||
- || $$T$$ || $$S_{_{T}}$$ || $$\nu_{_{T}} = lm - 1$$ || || || || || $$S_{_{T}}$$ || $$1$$ ||
-===== 분산분석 =====
- 인자&nbsp&nbsp $$A$$ 에 대한 [분산분석]
-  $$F_{0}=\frac{V_{_{A}}}{V_{_{E}}}$$
-  [기각역] :&nbsp&nbsp $$F_{0} > F_{a-\alpha}(\nu_{_{A}},\nu_{_{E}})$$
- 인자&nbsp&nbsp $$B$$ 에 대한 [분산분석]
-  $$F_{0}=\frac{V_{_{B}}}{V_{_{E}}}$$
-  [기각역] :&nbsp&nbsp $$F_{0} > F_{a-\alpha}(\nu_{_{B}},\nu_{_{E}})$$
-===== 각 수준의 모평균의 추정 =====
- * '''[인자]&nbsp&nbsp $$A$$ 의 [모평균]에 관한 [추정]'''
-  $$i$$ [수준]에서의 [모평균]&nbsp&nbsp $$\mu(A_{i})$$ 의 [점추정]값
-   $$\hat{\mu}(A_{i})=\widehat{\mu + a_{i}} = \overline{y}_{i.}$$
-  $$i$$ [수준]에서의 [모평균]&nbsp&nbsp $$\mu(A_{i})$$ 의&nbsp&nbsp $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다.
-   $$\hat{\mu}(A_{i})= \left( \overline{y}_{i.} - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{m}} \ , \ \overline{y}_{i.} + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{m}} \right)$$
-----
- * '''[인자]&nbsp&nbsp $$B$$ 의 [모평균]에 관한 [추정]'''
-  $$j$$ [수준]에서의 [모평균]&nbsp&nbsp $$\mu(B_{j})$$ 의 [점추정]값
-   $$\hat{\mu}(B_{j})=\widehat{\mu + b_{j}} = \overline{y}_{.j}$$
-  $$j$$ [수준]에서의 [모평균]&nbsp&nbsp $$\mu(B_{j})$$ 의&nbsp&nbsp $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다.
-   $$\hat{\mu}(B_{j})= \left( \overline{y}_{.j} - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{l}} \ , \ \overline{y}_{.j} + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{V_{E}}{l}} \right)$$
-----
- * '''[인자]&nbsp&nbsp $$A$$ 와&nbsp&nbsp $$B$$ 의 [모평균]에 관한 [추정]'''
-  $$A$$ [인자]의&nbsp&nbsp $$i$$ [수준]과&nbsp&nbsp $$B$$ [인자]의&nbsp&nbsp $$j$$ [수준]에서의 [모평균]&nbsp&nbsp $$\mu(A_{i}B_{j})$$ 의 [점추정]값
-   $$\hat{\mu}(A_{i}B_{j})=\widehat{\mu+a_{i}+b_{j}}=\overline{y}_{i.} + \overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}$$
-  $$A$$ [인자]의&nbsp&nbsp $$i$$ [수준]과&nbsp&nbsp $$B$$ [인자]의&nbsp&nbsp $$j$$ [수준]에서의 [모평균]&nbsp&nbsp $$\mu(A_{i}B_{j})$$ 의&nbsp&nbsp $$100(1-\alpha) \% $$ [신뢰구간]은 아래와 같다.
-   $$\hat{\mu}(A_{i}B_{j})= \left( (\overline{y}_{i.} + \overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) - t_{\alpha/2}(\nu_{E})\sqrt{\frac{V_{E}}{n_{e}}} \ , \ (\overline{y}_{i.} + \overline{y}_{.j} - \overline{\overline{y}}) + t_{\alpha/2}(\nu_{E})\sqrt{\frac{V_{E}}{n_{e}}} \right)$$
-   단,&nbsp&nbsp $$n_{e}$$ 는 [유효반복수]이고&nbsp&nbsp $$n_{e} = \frac{lm}{l+m-1}$$ 이다.
-----
-===== 각 수준의 모평균차의 추정 =====
- [[인자]] $A$의 [[모평균]]차에 관한 [[추정]]
- $i$ [[수준]]과 $j$ [[수준]]의 [[모평균]]차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 [[점추정]]값
- $$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})} = \overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}$$
- $i$ [[수준]]과 $j$ [[수준]]의 [[모평균]]차 $\mu(A_{i})-\mu(A_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ [[신뢰구간]]은 아래와 같다.
- $$\widehat{\mu(A_{i})-\mu(A_{j})}= \left( (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{m}} \ , \ (\overline{y}_{i.} - \overline{y}_{j.}) + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{m}} \right)$$
-----
- [[인자]] $B$의 [[모평균]]차에 관한 [[추정]]
- $i$ [[수준]]과 $j$ [[수준]]의 [[모평균]]차 $\mu(B_{i})-\mu(B_{j})$의 [[점추정]]값
- $$\widehat{\mu(B_{i})-\mu(B_{j})} = \overline{y}_{.i} - \overline{y}_{.j}$$
- $i$ [[수준]]과 $j$ [[수준]]의 [[모평균]]차 $\mu(B_{i})-\mu(B_{j})$의 $100(1-\alpha) \%$ [[신뢰구간]]은 아래와 같다.
- $$\widehat{\mu(B_{i})-\mu(B_{j})}= \left( (\overline{y}_{.i} - \overline{y}_{.j}) - t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{l}} \ , \ (\overline{y}_{.i} - \overline{y}_{.j}) + t_{\alpha/2}(\nu_{_{E}}) \sqrt{\frac{2V_{E}}{l}} \right)$$
-----
-  * [[결측치 추정 (Yates방법)]]

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