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음이항분포 [2018/10/02 19:51]
moonrepeat 		음이항분포 [2021/03/10 21:42]
줄 1: 줄 1:
-====== 음이항분포 (Negative Binomial Distribution) ====== 
-===== 정의 ===== 
  
-  * 여기서는 [[확률변수]] $X$를 Fail의 횟수로 정의한다. 
-===== 표기 ===== 
- $$ X \sim NB(r , p)$$ 
- 
-  * $$ r \in \{ \ 1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ \} $$ 
-  * $$ p \in [ \ 0 \ , \ 1 \ ] $$ 
-===== 받침 ===== 
- $$ x \in \{ \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \} $$ 
-===== 확률질량함수 ===== 
- ​$$p(x)=\begin{pmatrix}x+r-1\\r-1\end{pmatrix}p^{r}(1-p)^{x}$$ 
- 
-<​plot>​ 
- set title "​Negative Binomial Distribution PMF" 
- set size 1.0 
- set yrange [0:0.6] 
- set xrange [-0.5:15.5] 
- set format y "​%.2f"​ 
- set xlabel "​x"​ 
- set ylabel "​p(x)"​ 
- 
- ​f(x,​r,​p) = ((int(x)+r-1)!)/​(((r-1)!)*((int(x))!))*(p**r)*((1-p)**(int(x))) 
- 
- plot f(x+0.5,​3,​0.2) title "​NB(3,​0.2)"​ with steps, \ 
-  f(x+0.5,​3,​0.5) title "​NB(3,​0.5)"​ with steps, \ 
-  f(x+0.5,​3,​0.8) title "​NB(3,​0.8)"​ with steps 
-</​plot>​ 
-===== 누적분포함수 ===== 
- $$ F(x) = I_{p} ( \ r \ , \ x+1 \ ) $$ 
-===== 기대값 ===== 
- ​$$E(X)=\frac{r(1-p)}{p}$$ 
-===== 분산 ===== 
- ​$$Var(X)=\frac{r(1-p)}{p^{2}}$$ 
-===== 왜도 ===== 
-===== 첨도 ===== 
-===== 특성함수 ===== 
-===== 적률생성함수 ===== 
- ​$$M(t)=\left[ \frac{p}{1-(1-p)e^{t}} \right]^{r}$$ 
-===== 원적률 ===== 
-===== 중심적률 ===== 
-===== 특징 ===== 
-  * [[재생성]]을 가진다. 
-    * $X_{i} \sim NB(r_{i},​p)$이면 $\sum X_{i} \sim NB(\sum r_{i} , p)$이 성립한다. 
- 
----- 
-  * [[분포]]