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불완전_감마함수 [2012/03/27 21:19] moonrepeat 새로 만듦 |
불완전_감마함수 [2021/03/10 21:42] |
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| - | ====== 불완전 감마함수 (Incomplete Gamma Function) ====== | ||
| - | ===== 정의 ===== | ||
| - | $$ \Gamma(a,x) = \int_{x}^{\infty} t^{a-1} a^{-t} \ dt $$ | ||
| - | 만약, $a$가 [[정수]]라면 | ||
| - | |||
| - | $$ \begin{displaymath}\begin{split} \Gamma(a,x) &= (a-1)! \cdot e^{-x} \sum_{k=0}^{a-1} \frac{x^{k}}{k!} \\ &= (a-1)! \cdot e^{-x} \cdot e_{a-1}(x) \end{split}\end{displaymath} $$ | ||
| - | |||
| - | <plot> | ||
| - | set size 1 | ||
| - | set xrange [0:8] | ||
| - | set yrange [-1:8] | ||
| - | set zeroaxis | ||
| - | set title "Incomplete Gamma Function" | ||
| - | |||
| - | f(x,a) = (gamma(a)-igamma(a,x)) | ||
| - | |||
| - | plot f(x,1.0) title "n=1", \ | ||
| - | f(x,2.0) title "n=2", \ | ||
| - | f(x,3.0) title "n=3", \ | ||
| - | f(x,4.0) title "n=4" | ||
| - | </plot><plot> | ||
| - | set size 1 | ||
| - | set xrange [0:8] | ||
| - | set yrange [0:8] | ||
| - | set zrange [-1:8] | ||
| - | set zeroaxis | ||
| - | |||
| - | f(x,a) = (gamma(a)-igamma(a,x)) | ||
| - | |||
| - | splot f(x,y) title "" | ||
| - | </plot> | ||
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| - | ---- | ||
| - | $$ \begin{displaymath}\begin{split} \gamma(a,x) &= \int_{0}^{x} t^{a-1} a^{-t} \ dt \\ &= a^{-1} \cdot x^{a} \cdot _{1}F_{1} (a;1+a;-x) \end{split}\end{displaymath} $$ | ||
| - | |||
| - | 만약, $a$가 [[정수]]라면 | ||
| - | |||
| - | $$ \begin{displaymath}\begin{split} \gamma(a,x) &= (a-1)! \cdot \left( 1 - e^{-x} \sum_{k=0}^{a-1} \frac{x^{k}}{k!} \right) \\ &= (a-1)! \cdot \left[ 1 - e^{-x} \cdot e_{a-1}(x) \right] \end{split}\end{displaymath} $$ | ||
| - | |||
| - | <plot> | ||
| - | set size 1 | ||
| - | set xrange [0:8] | ||
| - | set yrange [-1:2] | ||
| - | set zeroaxis | ||
| - | set title "Incomplete Gamma Function" | ||
| - | |||
| - | f(x,a) = (igamma(a,x)) | ||
| - | |||
| - | plot f(x,1.0) title "n=1", \ | ||
| - | f(x,2.0) title "n=2", \ | ||
| - | f(x,3.0) title "n=3", \ | ||
| - | f(x,4.0) title "n=4" | ||
| - | </plot><plot> | ||
| - | set size 1 | ||
| - | set xrange [0:8] | ||
| - | set yrange [0:8] | ||
| - | set zrange [-1:8] | ||
| - | set zeroaxis | ||
| - | |||
| - | f(x,a) = (igamma(a,x)) | ||
| - | |||
| - | splot f(x,y) title "" | ||
| - | </plot> | ||
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| - | 단, $e_{n}(x)$는 [[지수합 함수]], $_{1}F_{1}=(a;b;z)$는 [[함수]]이다. | ||
| - | ===== 특징 ===== | ||
| - | - $$\Gamma(a,x) + \gamma(a,x) = \Gamma(a)$$ | ||
| - | - $a$가 [[정수]]일 경우 [[포아송 분포표]]를 이용해서 쉽게 구할 수 있다. | ||
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| - | 단, $\Gamma(\alpha)$는 [[감마함수]] | ||
| - | | ||
| - | ---- | ||
| - | * [[감마함수]] | ||
| - | * [[정칙 감마함수]] | ||
| - | * [[지수합 함수]] | ||
| - | * [[베타함수]] | ||
| - | * [[함수]] | ||
| - | * [[포아송 분포]] | ||
| - | * [[포아송 분포표]] | ||