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분산 [2012/03/20 18:38] moonrepeat 새로 만듦 |
분산 [2021/03/10 21:42] |
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| 줄 1: | 줄 1: | ||
| - | ====== 분산 (Variance) ====== | ||
| - | ===== 정의 ===== | ||
| - | [[분산]]은 [[평균]]을 중심으로 자료의 흩어진 정도가 어느 정도인지를 측정하는 것이다. [[분산]]이란 각 값으로부터 [[평균]]을 뺀 [[편차]]를 제곱한 후, 그 수를 모두 더하여 총 자료수로 나눈 값이다. | ||
| - | [[확률변수]] $X$의 [[분산]] $Var(X)$는 아래와 같이 구한다. | ||
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| - | * $$ \begin{displaymath}\begin{split} Var(X) &= E \{ X - E(X) \}^{2} \\ &= E \{ (X - \mu)^{2} \} \\ &= E(X^{2}) - \mu^{2} \\ &= \sigma^{2} \end{split}\end{displaymath} $$ | ||
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| - | ===== 유용한 식 1 ===== | ||
| - | * $$ \begin{displaymath}\begin{split} Var[[h(X)]] &= E \{ h(X) - E[[h(X)]] \}^{2} \\ &= E \{ [[h(X)]]^{2} \} - \{ E[[h(X)]] \}^{2} \end{split}\end{displaymath} $$ | ||
| - | |||
| - | * $$ \begin{displaymath}\begin{split} Var(aX + b) &= E \{ (aX+b) - E(aX + b) \}^{2} \\ &= E[[aX+b - aE(X) - b]]^{2} \\ &= a^{2} E \{ (X - \mu)^{2} \} \\ &= a^{2} \sigma^{2} \end{split}\end{displaymath} $$ | ||
| - | ===== 유용한 식 2 ===== | ||
| - | [[모집단]]의 [[분포]]를 모를 경우 | ||
| - | |||
| - | * $$ Var(S^{2}) = \frac{1}{n} \left[[ \mu_{4} - \sigma^{4} \frac{(n-3)}{(n-1)} \right]] $$ | ||
| - | * 단, $\mu_{k}$는 $k$차 [[중심적률]] | ||
| - | |||
| - | [[모집단]]이 [[정규분포]]를 따를 경우 | ||
| - | |||
| - | - $$ Var(S^{2}) = \frac{2 \sigma^{4}}{n-1} $$ | ||
| - | - $$ Var(W) = d_{3}^{ \ 2} $$ | ||
| - | * $W$는 [[상대범위]] | ||
| - | ===== 다양한 분포들의 분산 ===== | ||
| - | ^ **분포** ^ **기대값** | | ||
| - | | [[베르누이분포]] | $$p(1-p)$$ | | ||
| - | | [[이항분포]] | $$np(1-p)$$ | | ||
| - | | [[음이항분포]] | $$\frac{r(1-p)}{p^{2}}$$ | | ||
| - | | [[기하분포]] | $$\frac{1-p}{p^{2}}$$ | | ||
| - | | [[초기하분포]] | $$n \left( \frac{M}{N} \right) \left( \frac{N-M}{N} \right) \left( \frac{N-n}{N-1} \right)$$ | | ||
| - | | [[포아송분포]] | $$\lambda$$ | | ||
| - | | [[다항분포]] | $$n_{i} p_{i} (1 - p_{i})$$ | | ||
| - | | [[균일분포]] | $$\frac{(b-a)^{2}}{12}$$ | | ||
| - | | [[삼각형분포]] | $$\frac{1}{18} (a^{2} + m^{2} + b^{2} - am - ab - mb)$$ | | ||
| - | | [[정규분포]] | $$\sigma^{2}$$ | | ||
| - | | [[절반정규분포]] | $$\frac{\pi - 2}{2 \theta^{2}}$$ | | ||
| - | | [[지수분포]] | $$\lambda^{-2}$$ | | ||
| - | | [[어랑분포]] | | | ||
| - | | [[감마분포]] | $$\alpha \beta^{2}$$ | | ||
| - | | [[베타분포]] | $$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2}(\alpha+\beta+1)}$$ | | ||
| - | | [[와이블분포]] | $$\alpha^{2} \left[[ \Gamma \left( 1+\frac{2}{\beta} \right) - \Gamma^{2} \left( 1+\frac{1}{\beta} \right) \right]]$$ | | ||
| - | | [[대수정규분포]] | $$e^{2 \mu + \sigma^{2}} \ (e^{\sigma^{2}} - 1})$$ | | ||
| - | | [[맥스웰분포]] | $$\frac{\alpha^{2} (3 \pi -8)}{\pi}$$ | | ||
| - | | [[레일리분포]] | $$\frac{4 - \pi}{2} s^{2}$$ | | ||
| - | | [[라플라스분포]] | $$2b^{2}$$ | | ||
| - | | [[카이분포]] | $$\frac{2 \left[[ \Gamma \left( \frac{1}{2} \nu \right) \cdot \Gamma \left( 1 + \frac{1}{2} \nu \right) - \Gamma^{2} \left( \frac{1}{2} (\nu + 1) \right) \right]]}{\Gamma^{2} \left( \frac{1}{2} \nu \right)}$$ | | ||
| - | | [[카이스퀘어분포]] | $$2 \nu$$ | | ||
| - | | [[t분포]] | $$\frac{\nu}{\nu - 2}$$ | | ||
| - | | [[F분포]] | $$\frac{2 \nu_{2}^{ \ 2} (\nu_{1} + \nu_{2} - 2)}{\nu_{1} (\nu_{2} - 2)^{2} (\nu_{2} - 4)}$$ | | ||