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대수정규분포 [2012/07/10 20:03]
moonrepeat 새로 만듦 		대수정규분포 [2021/03/10 21:42]
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-====== 대수정규분포 (Lognormal Distribution) ====== 
-===== 표기 ===== 
- ​[[확률변수]] $Y = \ln X$가 [[정규분포]] $N(\mu, \sigma^{2})$을 따를 때 $X$는 [[대수정규분포]]를 따르고 아래와 같이 표기 한다. 
  
- $$ X \sim LN(\mu , \sigma^{2})$$ 
-===== 받침 ===== 
- $$ x \in ( \ 0 \ , \ \infty \ ) $$ 
-===== 확률밀도함수 ===== 
- $$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \ \sigma \cdot x} \exp \left[ - \frac{(\ln x - \mu)^{2}}{2 \sigma^{2}} \right] $$ 
- 
-<​plot>​ 
- set title "​Lognormal Distribution PDF" 
- set size 1.0 
- set xrange [0:8] 
- set yrange [0:1.2] 
- set format x "​%.1f"​ 
- set format y "​%.2f"​ 
- set xlabel "​x"​ 
- set ylabel "​f(x)"​ 
- 
- ​f(x,​m,​s) = (1/​(sqrt(2*pi*s)*x))*exp(-((log(x)-m)**2)/​(2*s)) 
- 
- plot f(x,0,1) title "​LN(0,​1)",​ \ 
-  f(x,0,4) title "​LN(0,​4)",​ \ 
-  f(x,0,0.5) title "​LN(0,​0.5)",​ \ 
-  f(x,1,1) title "​LN(1,​1)"​ 
-</​plot>​ 
-===== 누적분포함수 ===== 
- $$ F(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{\ln x - \mu}{\sigma \sqrt{2}} \right) \right] $$ 
- 
-<​plot>​ 
- set title "​Lognormal Distribution CDF" 
- set size 1.0 
- set xrange [0:8] 
- set yrange [0:1.1] 
- set format x "​%.1f"​ 
- set format y "​%.2f"​ 
- set xlabel "​x"​ 
- set ylabel "​F(x)"​ 
- set key 7,0.3 
- 
- ​f(x,​m,​s) = 0.5*(1+erf((log(x)-m)/​sqrt(2*s))) 
- 
- plot f(x,0,1) title "​LN(0,​1)",​ \ 
-  f(x,0,4) title "​LN(0,​4)",​ \ 
-  f(x,0,0.5) title "​LN(0,​0.5)",​ \ 
-  f(x,1,1) title "​LN(1,​1)"​ 
-</​plot>​ 
-===== 기대값 ===== 
- $$ E(x) = e^{\mu + \sigma^{2}/​2} $$ 
-===== 분산 ===== 
- $$ Var(x) = e^{2 \mu + \sigma^{2}} \ (e^{\sigma^{2}} - 1}) $$ 
-===== 왜도 ===== 
- $$ \gamma_{1} = \sqrt{e^{\sigma^{2}} - 1} \left( 2 + e^{\sigma^{2}} \right) $$ 
-===== 첨도 ===== 
- $$ \gamma_{2} = e^{4 \sigma^{2}} + 2 e^{3 \sigma^{2}} + 3 e^{2 \sigma^{2}} - 6 $$ 
-===== 원적률 ===== 
- $$ \mu'​_{1} = e^{\mu + \sigma^{2}/​2} $$ 
- 
- $$ \mu'​_{2} = e^{2 \mu + 2 \sigma^{2}} $$ 
- 
- $$ \mu'​_{3} = e^{3 \mu + 9 \sigma^{2}/​2} $$ 
- 
- $$ \mu'​_{4} = e^{4 \mu + 8 \sigma^{2}} $$ 
-===== 중심적률 ===== 
- $$ \mu_{2} = e^{2 \mu + \sigma^{2}} \left( e^{\sigma^{2}} - 1 \right) $$ 
- 
- $$ \mu_{3} = e^{3 \mu + 3 \sigma^{2}/​2} \left( e^{\sigma^{2}} - 1 \right) \left( e^{\sigma^{2}} + 2 \right) $$ 
- 
- $$ \mu_{4} = e^{4 \mu + 2 \sigma^{2}} \left( e^{\sigma^{2}} - 1 \right) \left( e^{4 \sigma^{2}} + 2 e^{3 \sigma^{2}} + 3 e^{2 \sigma^{2}} - 3 \right) $$ 
- 
----- 
-  * [[분포]] 
-  * [[정규분포]]