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기하_분포 [2017/08/07 16:26]
moonrepeat [원적률] 		기하_분포 [2021/03/10 21:42]
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-====== 기하분포 (Geometric Distribution) ====== 
-===== 표기 ===== 
-  * $$ X \sim Geo(p)$$ 
-    * $$ p \in [ \ 0 \ , \ 1 \ ] $$ 
-===== 받침 ===== 
- $$ x \in \{ \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ \} $$ 
-===== 확률밀도함수 ===== 
- $$ p(x) = p \ (1-p)^{x} = p \ q^{x} $$ 
  
-<​plot>​ 
- set title "​Geometric Distribution PMF" 
- set size 1 
- set yrange [0:0.9] 
- set xrange [-0.5:15.5] 
- set xlabel "​x"​ 
- set ylabel "​p(x)"​ 
- set format y "​%.2f"​ 
- 
- ​f(x,​p) = p*((1-p)**(int(x))) 
- 
- plot f(x+0.5,​0.2) title "​Geo(0.2)"​ with steps, \ 
-  f(x+0.5,​0.5) title "​Geo(0.5)"​ with steps, \ 
-  f(x+0.5,​0.8) title "​Geo(0.8)"​ with steps 
-</​plot>​ 
-===== 누적분포함수 ===== 
- $$ F(x) = 1 - (1-p)^{x+1} = 1 - q^{x+1} $$ 
- 
-<​plot>​ 
- set title "​Geometric Distribution CDF" 
- set size 1 
- set yrange [0:1.1] 
- set xrange [-0.5:15.5] 
- set xlabel "​x"​ 
- set ylabel "F(x) 
- set format y "​%.2f"​ 
- 
- ​f(x,​p) = 1-(1-p)**((int(x))+1) 
- 
- plot f(x+0.5,​0.2) title "​Geo(0.2)"​ with steps, \ 
-  f(x+0.5,​0.5) title "​Geo(0.5)"​ with steps, \ 
-  f(x+0.5,​0.8) title "​Geo(0.8)"​ with steps 
-</​plot>​ 
-===== 기대값 ===== 
- ​$$E(X)=\frac{1-p}{p}$$ 
-===== 분산 ===== 
- ​$$Var(X)=\frac{1-p}{p^{2}}$$ 
-===== 왜도 ===== 
- $$ \gamma_{1} = \frac{2 - p}{\sqrt{1-p}} = \frac{2-p}{\sqrt{q}} $$ 
-===== 첨도 ===== 
- $$ \gamma_{2} = \frac{p^{2} - 6p + 6}{1-p} = \frac{p^{2} - 6p + 6}{q} $$ 
-===== 특성함수 ===== 
- $$ \phi \ (t) = \frac{p}{1 - (1 - p) \cdot e^{ \ i t}} = \frac{p}{1 - q \cdot e^{ \ i t}} $$ 
-===== 적률생성함수 ===== 
- ​$$M(t)=\frac{p}{1-(1-p) \cdot e^{t}} = \frac{p}{1-q \cdot e^{t}}$$ 
-===== 원적률 ===== 
- $$ \mu'​_{1} = \frac{1-p}{p} $$ 
- 
- $$ \mu'​_{2} = \frac{(2-p)(1-p)}{p^{2}} $$ 
- 
- $$ \mu'​_{3} = \frac{(1-p) \left[ 6+(p-6)p \right] }{p^{3}} $$ 
- 
- $$ \mu'​_{4} = \frac{(2-p)(1-p) \left[ 12+(p-12)p \right] }{p^{4}} $$ 
- 
- $$ \mu'​_{k} = p \ \operatorname{Li}_{ \ -k} (1-p) $$ 
- 
-  * 단,&​nbsp&​nbsp $$\operatorname{Li}_{n} (z)$$ 는 ??​함수(Polylogarithm)이다. 
-===== 중심적률 ===== 
- $$ \mu_{2} = \frac{1-p}{p^{2}} $$ 
- 
- 
- $$ \mu_{3} = \frac{(p-1)(p-2)}{p^{3}} $$ 
- 
- 
- $$ \mu_{4} = \frac{(p-1)(-p^{2} +9p -9}{p^{4}} $$ 
- 
- 
- $$ \mu_{k} = p \ \Phi \left( \ 1-p \ , \ -k \ , \ \frac{p-1}{p} \ \right) $$ 
- 
- 
- 
-  단,&​nbsp&​nbsp $$\Phi ( \ z \ , \ s \ , \ a \ )$$ 는 ??​함수(Lerch Transcendent)이다. 
-===== 특성 ===== 
- i. [[무기억성]]을 가진다.