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기하_분포 [2017/08/07 15:07]
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줄 1: 줄 1:
-== [기하분포] (Geometric Distribution) == 
----- 
-=== 표기 === 
- $$ X \sim Geo(p)$$ 
  
- 
-   $$ p \in [ \ 0 \ , \ 1 \ ] $$ 
----- 
-=== [받침] === 
- $$ x \in \{ \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ \} $$ 
----- 
-=== [확률밀도함수] === 
- $$ p(x) = p \ (1-p)^{x} = p \ q^{x} $$ 
- 
- 
- ​{{{#​!gnuplot 
- set title "​Geometric Distribution PMF" 
- set size 0.7 
- set yrange [0:0.9] 
- set xrange [-0.5:15.5] 
- set xlabel "​x"​ 
- set ylabel "​p(x)"​ 
- set format y "​%.2f"​ 
- 
- ​f(x,​p) = p*((1-p)**(int(x))) 
- 
- plot f(x+0.5,​0.2) title "​Geo(0.2)"​ with steps, \ 
-  f(x+0.5,​0.5) title "​Geo(0.5)"​ with steps, \ 
-  f(x+0.5,​0.8) title "​Geo(0.8)"​ with steps 
-}}} 
----- 
-=== [누적분포함수] === 
- $$ F(x) = 1 - (1-p)^{x+1} = 1 - q^{x+1} $$ 
- 
- 
- ​{{{#​!gnuplot 
- set title "​Geometric Distribution CDF" 
- set size 0.7 
- set yrange [0:1.1] 
- set xrange [-0.5:15.5] 
- set xlabel "​x"​ 
- set ylabel "F(x) 
- set format y "​%.2f"​ 
- set key 13.5,0.2 
- 
- ​f(x,​p) = 1-(1-p)**((int(x))+1) 
- 
- plot f(x+0.5,​0.2) title "​Geo(0.2)"​ with steps, \ 
-  f(x+0.5,​0.5) title "​Geo(0.5)"​ with steps, \ 
-  f(x+0.5,​0.8) title "​Geo(0.8)"​ with steps 
-}}} 
----- 
-=== [기대값] === 
- ​$$E(X)=\frac{1-p}{p}$$ 
----- 
-=== [분산] === 
- ​$$Var(X)=\frac{1-p}{p^{2}}$$ 
----- 
-=== [왜도] === 
- $$ \gamma_{1} = \frac{2 - p}{\sqrt{1-p}} = \frac{2-p}{\sqrt{q}} $$ 
----- 
-=== [첨도] === 
- $$ \gamma_{2} = \frac{p^{2} - 6p + 6}{1-p} = \frac{p^{2} - 6p + 6}{q} $$ 
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-=== [특성함수] === 
- $$ \phi \ (t) = \frac{p}{1 - (1 - p) \cdot e^{ \ i t}} = \frac{p}{1 - q \cdot e^{ \ i t}} $$ 
----- 
-=== [적률생성함수] === 
- ​$$M(t)=\frac{p}{1-(1-p) \cdot e^{t}} = \frac{p}{1-q \cdot e^{t}}$$ 
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-=== [원적률] === 
- $$ \mu'​_{1} = \frac{1-p}{p} $$ 
- 
- 
- $$ \mu'​_{2} = \frac{(2-p)(1-p)}{p^{2}} $$ 
- 
- 
- $$ \mu'​_{3} = \frac{(1-p) \left[ 6+(p-6)p \right] }{p^{3}} $$ 
- 
- 
- $$ \mu'​_{4} = \frac{(2-p)(1-p) \left[ 12+(p-12)p \right] }{p^{4}} $$ 
- 
- 
- $$ \mu'​_{k} = p \ \operatorname{Li}_{ \ -k} (1-p) $$ 
- 
- 
- 
-  단,&​nbsp&​nbsp $$\operatorname{Li}_{n} (z)$$ 는 ??​함수(Polylogarithm)이다. 
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-=== [중심적률] === 
- $$ \mu_{2} = \frac{1-p}{p^{2}} $$ 
- 
- 
- $$ \mu_{3} = \frac{(p-1)(p-2)}{p^{3}} $$ 
- 
- 
- $$ \mu_{4} = \frac{(p-1)(-p^{2} +9p -9}{p^{4}} $$ 
- 
- 
- $$ \mu_{k} = p \ \Phi \left( \ 1-p \ , \ -k \ , \ \frac{p-1}{p} \ \right) $$ 
- 
- 
- 
-  단,&​nbsp&​nbsp $$\Phi ( \ z \ , \ s \ , \ a \ )$$ 는 ??​함수(Lerch Transcendent)이다. 
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-=== 특성 === 
- i. [무기억성]을 가진다.