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균일분포 [2012/07/16 20:35]
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균일분포 [2021/03/10 21:42]
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-====== 균일분포 (Uniform Distribution) ====== 
-===== 정의 ===== 
-===== 표기 ===== 
- $$ X \sim U(a , b)$$ 
  
-  * $$ a \in ( \ - \infty \ , b ) $$ 
-  * $$ b \in ( a , \ \infty \ ) $$ 
-===== 받침 ===== 
- $$ x \in [ \ a \ , \ b \ ] $$ 
-===== 확률밀도함수 ===== 
- $$ f(x) = \frac{1}{b-a} $$ 
- 
-<​plot>​ 
- set title "​Uniform Distribution PDF" 
- set size 1.0 
- set xrange [1:3] 
- set yrange [0:1] 
- set format x "​%.1f"​ 
- set format y "​%.2f"​ 
- set xlabel "​x"​ 
- set ylabel "​f(x)"​ 
- 
- plot 0.5 title "​U(1,​3)"​ 
-</​plot>​ 
-===== 누적분포함수 ===== 
- $$ F(x) = \frac{x - a}{b - a} $$ 
- 
-<​plot>​ 
- set title "​Uniform Distribution CDF" 
- set size 1.0 
- set xrange [1:3] 
- set yrange [0:1.1] 
- set format x "​%.1f"​ 
- set format y "​%.2f"​ 
- set xlabel "​x"​ 
- set ylabel "​F(x)"​ 
- set key left 
- 
- ​f(x,​a,​b) = (x-a)/(b-a) 
- 
- plot f(x,1,3) title "​U(1,​3)"​ 
-</​plot>​ 
-===== 기대값 ===== 
- $$ E(X) = \frac{a+b}{2} $$ 
-===== 분산 ===== 
- $$ Var(X) = \frac{(b-a)^{2}}{12} $$ 
-===== 왜도 ===== 
- $$ \gamma_{1} = 0 $$ 
-===== 첨도 ===== 
- $$ \gamma_{2} = - \frac{6}{5} $$ 
-===== 특성함수 ===== 
- $$ \phi \ (t) = \frac{2}{(b - a) t} \sin \left[ \frac{1}{2} (b-a) t \right] e^{i(a+b)t/​2} $$ 
- 
- ​만약,​ $a=0 , b=1$일 경우 [[특성함수]]는 아래와 같다. 
- 
- $$ \phi \ (t) = \frac{i - i \cos t + \sin t}{t} $$ 
-===== 적률생성함수 ===== 
- $$ M(t) = \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} $$ 
-===== 원적률 ===== 
- $$ \mu'​_{1} = \frac{1}{2} (a+b) $$ 
- 
- $$ \mu'​_{2} = \frac{1}{3} (a^{2} + ab + b^{2}) $$ 
- 
- $$ \mu'​_{3} = \frac{1}{4} (a+b)(a^{2} + b^{2}) $$ 
- 
- $$ \mu'​_{4} = \frac{1}{5} (a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} + b^{4}) $$ 
- 
- $$ \mu'​_{k} = \frac{b^{k+1} - a^{k+1}}{(k+1)(b-a)} $$ 
-===== 중심적률 ===== 
- $$ \mu_{1} = 0 $$ 
- 
- $$ \mu_{2} = \frac{1}{12} (b-a)^{2} $$ 
- 
- $$ \mu_{3} = 0 $$ 
- 
- $$ \mu_{4} = \frac{1}{80} (b-a)^{4} $$ 
- 
- $$ \mu_{k} = \frac{(a-b)^{k} + (b-a)^{k}}{2^{k+1} (k+1)} $$ 
-===== 유용한 공식 ===== 
- $$ X \sim U(0,\theta) $$ 일 때, 
- 
-  * $$ E(X_{(k)}) = \frac{k}{n+1} \theta $$ 
-  * $$ E(X_{(k)}^{2}) = \frac{k}{(n+2)^{2}} \theta^{2} $$ 
-  * $$ Var(X_{(k)}) = \frac{k(n-k+1)}{(n+1)^{2} (n+2)} \theta^{2} $$ 
- 
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-  * [[분포]] 
-  * [[연속형 분포]] 
-  * [[순서통계량]]