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균일분포 [2012/07/16 20:35] moonrepeat 새로 만듦 |
균일분포 [2021/03/10 21:42] |
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| 줄 1: | 줄 1: | ||
| - | ====== 균일분포 (Uniform Distribution) ====== | ||
| - | ===== 정의 ===== | ||
| - | ===== 표기 ===== | ||
| - | $$ X \sim U(a , b)$$ | ||
| - | * $$ a \in ( \ - \infty \ , b ) $$ | ||
| - | * $$ b \in ( a , \ \infty \ ) $$ | ||
| - | ===== 받침 ===== | ||
| - | $$ x \in [ \ a \ , \ b \ ] $$ | ||
| - | ===== 확률밀도함수 ===== | ||
| - | $$ f(x) = \frac{1}{b-a} $$ | ||
| - | |||
| - | <plot> | ||
| - | set title "Uniform Distribution PDF" | ||
| - | set size 1.0 | ||
| - | set xrange [1:3] | ||
| - | set yrange [0:1] | ||
| - | set format x "%.1f" | ||
| - | set format y "%.2f" | ||
| - | set xlabel "x" | ||
| - | set ylabel "f(x)" | ||
| - | |||
| - | plot 0.5 title "U(1,3)" | ||
| - | </plot> | ||
| - | ===== 누적분포함수 ===== | ||
| - | $$ F(x) = \frac{x - a}{b - a} $$ | ||
| - | |||
| - | <plot> | ||
| - | set title "Uniform Distribution CDF" | ||
| - | set size 1.0 | ||
| - | set xrange [1:3] | ||
| - | set yrange [0:1.1] | ||
| - | set format x "%.1f" | ||
| - | set format y "%.2f" | ||
| - | set xlabel "x" | ||
| - | set ylabel "F(x)" | ||
| - | set key left | ||
| - | |||
| - | f(x,a,b) = (x-a)/(b-a) | ||
| - | |||
| - | plot f(x,1,3) title "U(1,3)" | ||
| - | </plot> | ||
| - | ===== 기대값 ===== | ||
| - | $$ E(X) = \frac{a+b}{2} $$ | ||
| - | ===== 분산 ===== | ||
| - | $$ Var(X) = \frac{(b-a)^{2}}{12} $$ | ||
| - | ===== 왜도 ===== | ||
| - | $$ \gamma_{1} = 0 $$ | ||
| - | ===== 첨도 ===== | ||
| - | $$ \gamma_{2} = - \frac{6}{5} $$ | ||
| - | ===== 특성함수 ===== | ||
| - | $$ \phi \ (t) = \frac{2}{(b - a) t} \sin \left[ \frac{1}{2} (b-a) t \right] e^{i(a+b)t/2} $$ | ||
| - | |||
| - | 만약, $a=0 , b=1$일 경우 [[특성함수]]는 아래와 같다. | ||
| - | |||
| - | $$ \phi \ (t) = \frac{i - i \cos t + \sin t}{t} $$ | ||
| - | ===== 적률생성함수 ===== | ||
| - | $$ M(t) = \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} $$ | ||
| - | ===== 원적률 ===== | ||
| - | $$ \mu'_{1} = \frac{1}{2} (a+b) $$ | ||
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| - | $$ \mu'_{2} = \frac{1}{3} (a^{2} + ab + b^{2}) $$ | ||
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| - | $$ \mu'_{3} = \frac{1}{4} (a+b)(a^{2} + b^{2}) $$ | ||
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| - | $$ \mu'_{4} = \frac{1}{5} (a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} + b^{4}) $$ | ||
| - | |||
| - | $$ \mu'_{k} = \frac{b^{k+1} - a^{k+1}}{(k+1)(b-a)} $$ | ||
| - | ===== 중심적률 ===== | ||
| - | $$ \mu_{1} = 0 $$ | ||
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| - | $$ \mu_{2} = \frac{1}{12} (b-a)^{2} $$ | ||
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| - | $$ \mu_{3} = 0 $$ | ||
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| - | $$ \mu_{4} = \frac{1}{80} (b-a)^{4} $$ | ||
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| - | $$ \mu_{k} = \frac{(a-b)^{k} + (b-a)^{k}}{2^{k+1} (k+1)} $$ | ||
| - | ===== 유용한 공식 ===== | ||
| - | $$ X \sim U(0,\theta) $$ 일 때, | ||
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| - | * $$ E(X_{(k)}) = \frac{k}{n+1} \theta $$ | ||
| - | * $$ E(X_{(k)}^{2}) = \frac{k}{(n+2)^{2}} \theta^{2} $$ | ||
| - | * $$ Var(X_{(k)}) = \frac{k(n-k+1)}{(n+1)^{2} (n+2)} \theta^{2} $$ | ||
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| - | * [[분포]] | ||
| - | * [[연속형 분포]] | ||
| - | * [[순서통계량]] | ||