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감마분포 [2012/07/11 10:52] moonrepeat 새로 만듦 |
감마분포 [2021/03/10 21:42] |
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| 줄 1: | 줄 1: | ||
| - | ====== 감마분포 (Gamma Distribution) ====== | ||
| - | ===== 표기 ===== | ||
| - | $\alpha$ : 모양 매개변수 | ||
| - | $\beta$ : 크기 매개변수 | ||
| - | |||
| - | $$ X \sim G(\alpha , \beta)$$ | ||
| - | |||
| - | * $$ \alpha \in ( \ 0 \ , \ \infty \ ) $$ | ||
| - | * $$ \beta \in ( \ 0 \ , \ \infty \ ) $$ | ||
| - | ===== 받침 ===== | ||
| - | $$ x \in [ \ 0 \ , \ \infty \ ) $$ | ||
| - | ===== 확률밀도함수 ===== | ||
| - | $$ f(x) = \left[ \frac{1}{\Gamma(\alpha) \cdot \beta^\alpha} \right] \cdot x^{\alpha-1} \cdot e^{-x/\beta} $$ | ||
| - | |||
| - | <plot> | ||
| - | set title "Gamma Distribution PDF" | ||
| - | set size 1.0 | ||
| - | set xrange [0:20] | ||
| - | set yrange [0:0.5] | ||
| - | set format x "%.1f" | ||
| - | set format y "%.2f" | ||
| - | set xlabel "x" | ||
| - | set ylabel "f(x)" | ||
| - | |||
| - | f(x,a,b) = (1/(gamma(a)*(b**a)))*(x**(a-1))*exp(-x/b) | ||
| - | |||
| - | plot f(x,1,2.0) title "G(1,2.0)", \ | ||
| - | f(x,2,2.0) title "G(2,2.0)", \ | ||
| - | f(x,3,2.0) title "G(3,2.0)", \ | ||
| - | f(x,5,1.0) title "G(5,1.0)", \ | ||
| - | f(x,9,0.5) title "G(9,0.5)" | ||
| - | </plot> | ||
| - | ===== 누적분포함수 ===== | ||
| - | $$ F(x) = P \left( \ \alpha \ , \ \frac{x}{\beta} \ \right) $$ | ||
| - | |||
| - | 단, $P \left( \ a \ , \ b \ \right)$는 [[정칙 감마함수]]이다. | ||
| - | |||
| - | <plot> | ||
| - | set title "Gamma Distribution CDF" | ||
| - | set size 1.0 | ||
| - | set xrange [0:20] | ||
| - | set yrange [0:1.1] | ||
| - | set format x "%.1f" | ||
| - | set format y "%.2f" | ||
| - | set xlabel "x" | ||
| - | set ylabel "F(x)" | ||
| - | |||
| - | f(x,a,b) = igamma(a,x/b) | ||
| - | |||
| - | plot f(x,1,2.0) title "G(1,2.0)", \ | ||
| - | f(x,2,2.0) title "G(2,2.0)", \ | ||
| - | f(x,3,2.0) title "G(3,2.0)", \ | ||
| - | f(x,5,1.0) title "G(5,1.0)", \ | ||
| - | f(x,9,0.5) title "G(9,0.5)" | ||
| - | </plot> | ||
| - | ===== 기대값 ===== | ||
| - | $$ E(X) = \alpha \beta $$ | ||
| - | ===== 최빈값 ===== | ||
| - | $$ Mo = (\alpha - 1) \beta $$ | ||
| - | ===== 분산 ===== | ||
| - | $$ Var(X) = \alpha \beta^{2} $$ | ||
| - | ===== 왜도 ===== | ||
| - | $$ \gamma_{1} = \frac{2}{\sqrt{\alpha}} $$ | ||
| - | ===== 첨도 ===== | ||
| - | $$ \gamma_{2} = \frac{6}{\alpha} $$ | ||
| - | ===== 특성함수 ===== | ||
| - | $$ \phi \ (t) = (1-\beta \cdot i \cdot t)^{-\alpha} $$ | ||
| - | ===== 적률생성함수 ===== | ||
| - | $$ M(t) = (1-\beta \cdot t)^{-\alpha} $$ | ||
| - | ===== 특징 ===== | ||
| - | - [[재생성]]을 가진다. | ||
| - | * $X_{i} \sim G(\alpha_{i},\beta)$이면 $\sum X_{i} \sim G(\sum \alpha_{i},\beta)$이 성립한다. | ||
| - | ===== 타 분포와의 관계 ===== | ||
| - | * [[지수분포와 감마분포 관계]] | ||
| - | * [[감마분포와 카이스퀘어분포 관계]] | ||
| - | * [[감마분포와 포아송분포 관계]] | ||
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| - | ---- | ||
| - | * [[분포]] | ||
| - | * [[연속형 분포]] | ||